高等数学课件--D19连续函数的运算

高等数学课件--D19连续函数的运算目录•连续函数的基本概念•连续函数的四则运算•复合函数的连续性•反函数的连续性•初等函数的连续性01连续函数的基本概念连续性的定义连续性定义如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续左极限与右极限对于函数在某点的极限，可以分别考虑从左侧和右侧趋近该点的函数值，这两个极限值分别称为左极限和右极限连续性的分类根据函数在区间上连续性的不同，可以分为第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点和振荡间断点）连续函数的性质局部性质如果函数在某点的极限存在，则该点附近的函数值可以由该极限值唯一确定整体性质如果函数在闭区间上连续，则该函数在该区间上取得最大值和最小值介值定理如果函数在闭区间上连续，且该区间两端点的函数值异号，则该函数在该区间内至少存在一个零点连续函数与可微函数的关系可微函数的定义如果函数在某点的导数存在，则该函数在该点可1微一阶导数与连续性一阶导数存在且连续的函数不一定是可微的，但2可微的函数其一阶导数必定存在且连续高阶导数与连续性高阶导数的连续性与函数的可微性没有直接关系，3但高阶导数的连续性有助于研究函数的局部性质02连续函数的四则运算加法运算总结词两个连续函数之和仍为连续函数详细描述设$fx$和$gx$在某区间内连续，则$Fx=fx+gx$在对应区间内也连续减法运算总结词两个连续函数之差仍为连续函数详细描述设$fx$和$gx$在某区间内连续，则$Fx=fx-gx$在对应区间内也连续乘法运算总结词两个连续函数之积仍为连续函数详细描述设$fx$和$gx$在某区间内连续，则$Fx=fx timesgx$在对应区间内也连续除法运算总结词两个连续函数相除可能为连续函数，也可能为不连续函数详细描述设$fx$和$gx$在某区间内连续，且$gx neq0$，则$frac{fx}{gx}$在对应区间内也连续但若$gx=0$，则函数$frac{fx}{gx}$在该点处不连续03复合函数的连续性复合函数的定义复合函数由两个或多个函数通过一定的规则组合而成的函数形式化定义设$fx$和$gu$是两个函数，若对所有$x$，存在$u=gx$，使得$fu=f[gx]$有意义，则称$f[gx]$为复合函数复合函数的连续性判断连续性定义如果对于复合函数$f[gx]$，当$x$在某区间内取值时，$f[gx]$的值随$x$的变化而连续变化，则称复合函数$f[gx]$在该区间内连续判断方法首先确定函数$gx$在某区间内的连续性，然后检查$fu$在$u=gx$处的连续性如果两者都连续，则复合函数$f[gx]$在该区间内也连续复合函数与原函数的连续性关系要点一要点二原函数连续性对复合函数连续性复合函数连续性对原函数连续性的影响的影响如果原函数$fu$和$gx$都连续，则复合函数$f[gx]$如果复合函数$f[gx]$连续，这并不能保证原函数$fu$也连续但如果只有$fu$连续，而$gx$不连续，则复或$gx$一定连续合函数$f[gx]$可能不连续04反函数的连续性反函数的定义与性质反函数的定义反函数的性质如果函数y=fx在区间I上单调，并且反函数与原函数在对应区间上单调性相反，fx值域为J，则存在反函数x=gy，即如果原函数在区间I上单调递增（或递使得当y在J上任意取值时，x在I上有VS减），则反函数在对应的值域J上单调递唯一确定的值与之对应减（或递增）反函数的连续性判断连续性的定义反函数连续性判断如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数如果原函数在区间I上连续，则反函数在对δ，使得当|x-c|δ时，有|fx-fc|应的值域J上也连续具体来说，如果fxε，则称函数f在点c处连续在I上连续，则gy在J上也连续反函数与原函数的连续性关系原函数与反函数连续性一致单调性与连续性关系如果原函数在某点连续，则其反函数在该点的值域内也如果一个函数在某个区间上单调，并且连续，则其反函连续同样地，如果反函数在某点连续，则原函数在该数在该值域上也是连续的这一性质在解决一些数学问点的定义域内也连续题时非常有用，例如求极限、判断积分等05初等函数的连续性幂函数总结词详细描述幂函数在其定义域内是连续的，其图像在定幂函数$fx=x^a$（$a$为实数）在其定义域内是光滑的义域内是连续的这是因为当$x$在定义域内变化时，$fx$的值会连续变化，不会出现跳跃或间断的情况指数函数总结词详细描述指数函数在其定义域内是连续的，其图像在定义域内指数函数$fx=a^x$（$a$为正实数，且$a neq1$）是光滑的在其定义域内是连续的这是因为当$x$在定义域内变化时，$fx$的值会连续变化，不会出现跳跃或间断的情况对数函数总结词详细描述对数函数在其定义域内是连续的，其图像在定义域内对数函数$fx=log_a x$（$a$为正实数，且$a0$）是光滑的在其定义域内是连续的这是因为当$x$在定义域内变化时，$fx$的值会连续变化，不会出现跳跃或间断的情况三角函数总结词三角函数在其定义域内是连续的，其图像在定义域内是光滑的详细描述三角函数（如正弦函数、余弦函数、正切函数等）在其定义域内是连续的这是因为当角度在定义域内变化时，三角函数的值会连续变化，不会出现跳跃或间断的情况THANK YOU感谢各位观看。