高等数学复习课件ch2

高等数学复习课件ch3目录•函数与极限•导数与微分•不定积分•定积分及其应用•多元函数微积分学01函数与极限函数的概念与性质函数定义函数是数学上的一个概念，表示两个变量之间的依赖关系函数将一个数集的每一个数唯一地对应到另一个数集中的数函数的性质函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等这些性质描述了函数在特定区间内的行为和变化规律函数的表示方法函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法等解析法是用数学表达式表示函数，表格法是用表格列出函数的值，图象法是用图形表示函数极限的定义与性质极限的定义01极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了当自变量趋近某一值时，函数值的变化趋势极限可以是有限数、无穷大或无穷小极限的性质02极限的性质包括唯一性、传递性、保序性和局部有界性等这些性质描述了极限的基本性质和行为特征极限的运算与法则03极限的运算是数学分析中的基本运算之一，包括求极限、判断极限存在性、求极限的方法和法则等求极限的方法有定义法、四则运算法则、等价无穷小替换法等极限的运算与法则求极限的方法求极限的方法有多种，包括直接代入法、四则运算法则、等价无穷小替换法、洛必达法则和泰勒公式等这些方法可以根据不同的情况选择使用判断极限存在性判断极限存在性的方法有多种，包括夹逼定理、单调有界定理和海涅定理等这些方法可以帮助我们判断一个函数的极限是否存在极限的应用极限的应用非常广泛，包括求函数的极值、证明不等式、研究函数的单调性和连续性等通过掌握极限的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用高等数学中的其他概念和定理02导数与微分导数的概念与性质导数的定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点附近的小范围内变化的趋势导数的几何意义导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率导数的性质导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等导数的计算方法基本初等函数的导数对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数函数、1三角函数等，它们的导数已经给出链式法则如果一个复合函数是由两个函数复合而成，那么2它的导数可以通过链式法则来计算乘积法则两个函数的乘积的导数，等于一个函数的导数乘3以另一个函数加上另一个函数的导数乘以这个函数微分的概念与性质微分的定义01微分是函数在某一点附近的小范围内变化的一种近似值，表示函数在该点附近的小范围内变化的趋势微分的几何意义02微分在几何上表示函数图像在某一点附近的切线的垂直距离微分的性质03微分具有一些基本的性质，如线性性质、常数倍性质等03不定积分不定积分的概念与性质不定积分的概念不定积分是微积分的基本概念之一，它是求一个函数的原函数的过程原函数是指一个函数在其定义域内的每一点上都有确定的导数不定积分的性质不定积分具有线性性质、积分常数性质、区间可加性等基本性质这些性质在计算不定积分时非常重要，可以帮助我们简化计算过程不定积分的计算方法直接积分法直接利用不定积分的性质和基本积分公式进行计算例如，对于形如`x^n dx`的积分，可以直接利用不定积分的基本公式进行求解换元积分法当被积函数比较复杂时，可以通过换元来简化计算过程例如，对于形如`√x dx`的积分，可以通过换元为`t=√x`来简化计算过程分部积分法当被积函数是两个函数的乘积时，可以通过分部积分法来求解例如，对于形如`uvdx`的积分，可以通过分部积分法进行求解积分的应用求面积求体积物理应用不定积分可以用来求解平面图形不定积分可以用来求解旋转体的不定积分在物理中有广泛的应用，的面积例如，对于曲线下的面体积例如，对于一个旋转曲面例如在分析力学、电磁学、热学积，可以通过不定积分进行求解的体积，可以通过不定积分进行等领域中都有重要的应用求解04定积分及其应用定积分的概念与性质定义定积分是积分的一种，是函数在闭区间上所有点的无限加权的和性质定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值定理等性质定积分的计算方法010203直接法换元法分部积分法利用定积分的定义，通过无限分通过换元公式将复杂的积分转化通过分部积分公式将两个函数的割、近似代替、求和、取极限等为容易计算的积分，从而简化计乘积的积分转化为各自积分的线步骤计算定积分算过程性组合，从而简化计算过程定积分的应用物理应用定积分可以用于解决与速度、加速度、功等相关的几何应用物理问题，例如计算物体在恒力作用下的位移和速度定积分可以用于计算平面图形（如圆、椭圆、矩形等）的面积和立体图形（如圆柱、圆锥、经济应用球体等）的体积定积分可以用于解决与成本、收益、利润等相关的经济问题，例如计算企业的总利润和总成本05多元函数微积分学多元函数的极限与连续性极限的定义连续性的定义在多元函数中，当一个或多个自变量趋于某如果一个多元函数在某一点的极限值等于该一定值时，函数值的变化趋势点的函数值，则称该函数在该点连续极限的计算方法连续性的性质利用极限的四则运算法则和复合函数的极限连续性具有传递性、局部性、一致性和等价运算法则进行计算性偏导数与全微分偏导数的定义偏导数的计算方法在多元函数中，对于某个自变量求导，得到的是利用链式法则、乘积法则、商的法则和复合函数该自变量对函数的偏导数的偏导数法则进行计算A BC D全微分的定义全微分的性质全微分具有线性性质、可加性、可微性质和可积在多元函数中，全微分是所有偏导数的线性组合，性质表示函数在某一点附近的小变化二重积分二重积分的定义对一个二元函数在某个区域上进行积分，得到的是该函数的二重积分二重积分的几何意义表示二元函数所围成的区域面积二重积分的计算方法利用二重积分的性质和计算公式进行计算二重积分的性质二重积分具有可加性、可减性、可积性和可交换性THANKS感谢观看。