高等数学方明亮版课件19连续函数的运算与初等函数的连续性

高等数学方明亮版课件19连续函数的运算与初等函数的连续性CONTENTS•连续函数的运算目录•初等函数的连续性•闭区间上初等函数的连续性•函数的一致性与连续性CHAPTER01连续函数的运算函数的加减运算总结词函数加减运算的连续性详细描述对于任意两个连续函数fx和gx，它们的和函数hx=fx+gx以及差函数rx=fx-gx也是连续函数在定义域内的任意一点x0，只要fx0和gx0都存在，则hx0=fx0+gx0和rx0=fx0-gx0也都存在函数的乘法运算总结词函数乘法运算的连续性详细描述对于任意两个连续函数fx和gx，它们的积函数px=fx*gx也是连续函数在定义域内的任意一点x0，只要fx0和gx0都存在，则px0=fx0*gx0也存在函数的除法运算总结词函数除法运算的连续性详细描述对于任意两个连续函数fx和gx，当gx≠0时，它们的商函数qx=fx/gx也是连续函数在定义域内的任意一点x0，只要fx0和gx0都存在且gx0≠0，则qx0=fx0/gx0也存在复合函数的运算总结词复合函数运算的连续性详细描述如果y=fu，u=gx都是连续函数，则复合函数y=f[gx]也是连续函数也就是说，如果自变量在某个区间内发生连续变化，因变量的值也会随之发生连续变化CHAPTER02初等函数的连续性一次函数的连续性一次函数形式为$y=ax+b$，其中$a$和1$b$是常数在定义域内，一次函数是连续的，即当$x$的值2在定义域内变化时，$y$的值也连续变化一次函数在定义域内的任何一点都可导，且导数3等于斜率$a$二次函数的连续性01二次函数形式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$是常数02二次函数在定义域内是连续的，但可能在极值点处不可导03二次函数的极值点为$x=-frac{b}{2a}$，在极值点处，函数值可能不连续三角函数的连续性三角函数形式为$y=sin x$、$y=cos x$、$y=tan x$等三角函数在其定义域内是连续的，即当角度$x$在其定义域内变化时，函数值也连续变化三角函数在其定义域内可导，且导数与函数形式有关对数函数与指数函数的连续性010203对数函数形式为$y=log_a对数函数和指数函数在其定义对数函数和指数函数在其定义x$，指数函数形式为$y=域内是连续的域内可导，且导数与函数形式a^x$有关CHAPTER03闭区间上初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数具有一致连续性，即对于任意两个接近的点，函数值也接近闭区间上的连续函数具有有界性，即函数在闭区间上存在上界和下界闭区间上的连续函数具有零点定理，即如果函数在区间两端取值为异号，则函数在此区间内至少有一个零点闭区间上连续函数的最值定理01闭区间上的连续函数在其定义域内取得最大值和最小值，即存在最大值和最小值02如果函数在闭区间的两端取值为异号，则函数在此区间内必存在最大值或最小值03如果函数在闭区间内单调，则函数在此区间内必存在最大值或最小值闭区间上连续函数的介值定理介值定理如果一个连续函数在一个闭区间上取值能够介于两个常数之间，那么在这两个常数之间至少存在一个数，使得函数值为该数应用利用介值定理可以解决一些实际应用问题，例如求解方程的近似解、确定函数的零点等CHAPTER04函数的一致性与连续性一致性的定义与性质一致性定义对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$|x-x_0|delta$时，有$|fx-fx_0|varepsilon$一致性的性质如果函数在某区间上一致连续，则该函数在该区间上具有连续性一致连续与一致收敛的关系一致连续如果函数在某区间上一致连续，则该函数在该区间上的一致收敛性也成立一致收敛如果函数在某区间上一致收敛，则该函数在该区间上的一致连续性也成立一致连续与一致收敛的应用在数学分析中，一致连续和一致收敛的概念是重要的，它们在解决一些数学问题时非常有用例如，在求解微分方程、积分方程、级数等数学问题时，常常需要用到一致连续和一致收敛的概念在实数理论中，一致连续和一致收敛的概念也是重要的例如，在证明实数的完备性时，需要用到一致连续和一致收敛的概念THANKS[感谢观看]。