高等数学课件--D81向量及运算

2023REPORTING高等数学课件--d81向量及运算2023•向量及其表示•向量的基本运算目录•向量的数量积•向量的向量积CATALOGUE•向量的混合积2023REPORTINGPART01向量及其表示向量的定义向量是一个有方向和大小的几何量，通常用有向线段表示向量的表示方法在平面或空间中，起点固定，终点可以任意移动的有向线段表示一个向量向量的模向量的模是指向量的长度或大小，用符号表示向量的模的计算公式$|vec{A}|=sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$，其中$A_x,A_y,A_z$分别表示向量的三个分量向量的表示方法矩阵表示法用矩阵形式表示向量，例如几何表示法$begin{bmatrix}A_x A_yA_z end{bmatrix}$用有向线段表示向量，起点代数表示法为$O$，终点为$A$，记作$vec{OA}$用坐标形式表示向量，例如$vec{A}=A_x,A_y,A_z$2023REPORTINGPART02向量的基本运算向量的加法总结词向量加法是向量的基本运算之一，通过平行四边形法则或三角形法则进行详细描述向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个平行四边形，则所得向量即为这两个向量的和在三角形法则中，两个向量首尾相接，以第三个顶点为起点作向量，与前两个向量相加，结果为第三个顶点的位置向量的数乘总结词数乘是向量的一种基本运算，通过将一个标量与一个向量相乘得到新的向量详细描述数乘是将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量标量为实数，可以是正数、负数或零数乘的结果是原向量的长度或方向发生变化，但不会改变向量的模长向量的减法总结词向量减法是通过将一个向量的起点移动到另一个向量的终点，从而得到一个新的向量详细描述向量减法是将一个向量的起点移动到另一个向量的终点，形成一个平行四边形，则所得向量即为这两个向量的差在三角形法则中，两个向量首尾相接，以第三个顶点为起点作向量，与前两个向量相减，结果为第三个顶点的位置2023REPORTINGPART03向量的数量积数量积的定义数量积的定义两个向量的数量积定义为它们的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积，记作a·b数学表达式a·b=∣a∣∣b∣cos〈a,b〉数量积的几何意义投影定理一个向量在另一个向量上的投影长度等于该向量与另一个向量的数量积角度定理两个向量的夹角等于它们的数量积除以它们的模长之积数量积的运算性质交换律分配律a·b=b·a a+b·c=a·c+b·c结合律分配律扩展a·b·c=a·b·c a+b·c=a·c+b·c=∣a∣∣c∣cos〈a,c〉+∣b∣∣c∣cos〈b,c〉2023REPORTINGPART04向量的向量积向量积的定义向量积的定义定义公式几何意义向量积是一个向量运算，其结果a×b=||a||*||b||*sinθ*n，向量积表示两个向量之间的旋转为一个向量，记作a×b，其中a其中θ为a与b之间的夹角，n为垂关系，其方向垂直于a与b，其大和b为给定向量直于a与b的单位向量小等于a与b的模之积乘以它们之间的夹角的正弦值向量积的几何意义旋转方向面积计算方向判断向量积的方向表示以原点为中心向量积可以用于计算平行四边形向量积可以用于判断两向量的相的旋转方向当a×b为正时，的面积设平行四边形相邻两边对位置关系若a×b=0，则表示逆时针旋转；当a×b为负为a和b，则其面积为S=||a×表示a与b共线；若a×b0，时，表示顺时针旋转b||则表示a与b之间的夹角为锐角；若a×b0，则表示a与b之间的夹角为钝角向量积的运算性质交换律a×b=-b×a1分配律对于任意向量c，有a+b×c=a×c+b×c2与标量乘法结合律ka×b=ka×b=a×kb，其中k为标量32023REPORTINGPART05向量的混合积混合积的定义混合积三个向量的混合积是一个标量，记作$a cdotb times c$，其值等于以$a,b,c$为邻边的平行四边形的面积定义公式$a cdotb timesc=|a|cdot|b|cdot|c|cdot sintheta$，其中$theta$为$b$和$c$之间的夹角混合积的几何意义混合积的几何意义计算方法表示以$a,b,c$为邻边的平行四边形的面先求出向量$b$和$c$的叉积，再与向量积$a$点乘，即得平行四边形的面积VS混合积的运算性质交换律$a cdotb timesc=-b timesc cdota$分配律结合律$a+b cdotc times d=a cdotc$a timesb cdotc timesd=a cdotbtimes d+b cdotc timesd$timesctimesd$2023REPORTINGTHANKS感谢观看。