高中数学配套课件：第1部分第三章31312用二分法求方程的近似解

高中数学配套课件第1部分第三章31312用二分法求方程的近似解目录•二分法简介•二分法的基本步骤•用二分法求解方程的近似解•二分法的应用实例•二分法的注意事项和误差分析Part二分法简介01二分法的定义01二分法是一种通过不断将区间一分为二来逼近方程根的数值方法02它基于函数的零点存在定理，通过不断缩小搜索区间来找到方程的近似解二分法的基本思想找到区间的中点，并检查中点处选择一个初始区间，并确定一个的函数值目标精度根据函数值在左右两侧的表现，重复上述步骤，直到达到目标精将区间缩小为更小的子区间度二分法的适用范围二分法适用于求解实数范适用于连续且在区间内单不适用于多根或非单调函围内的单根或重根问题调变化的函数数的情况Part二分法的基本步骤02确定初始区间STEP03在确定初始区间时，需要考虑方程的性质和已知条件，以确保所选区间包含解STEP02确定初始区间的目的是为了缩小搜索范围，以便更快地找到方程的近似解STEP01确定初始区间是求解方程近似解的第一步，通常选择包含解的区间作为初始区间计算中点中点是初始区间的中点，通过计中点的计算公式为$x_{mid}=计算中点是二分法中关键的一步，算中点可以将初始区间一分为二frac{x_1+x_2}{2}$，其中中点的计算精度直接影响最终求$x_1$和$x_2$分别是初始区间解的精度的左右端点判断中点处的函数值判断中点处的函数值是二分法中如果函数在$x_{mid}$处的值为判断中点处的函数值有助于缩小的重要步骤，需要根据函数在正，则解在$x_{mid}$的右侧；搜索范围，加速求解过程$x_{mid}$处的值来判断解所在如果函数值为负，则解在的区间$x_{mid}$的左侧决定新的区间根据判断中点处的函数值结果，需要决定新的区间，即选择包含解的子区间继续进行搜索如果函数值在$x_{mid}$处为正，则选择$x_{mid}$右侧的区间作为新的搜索区间；如果函数值为负，则选择$x_{mid}$左侧的区间作为新的搜索区间决定新的区间是二分法中的关键步骤，它决定了最终求解的精度和速度重复步骤直至满足精度要求重复以上步骤，直到满足精度在重复步骤时，需要不断更新当满足精度要求或搜索区间长要求或搜索区间长度足够小为搜索区间和计算中点，并根据度足够小时，即可得到方程的止中点处的函数值判断解所在的近似解区间Part用二分法求解方程的近似解03求解一元方程的近似解初始区间定义域和值域选择一个初始区间，其中包含方确定一元方程的定义域和值域，程的根以便确定求解的区间范围迭代过程精度要求根据二分法原理，不断将初始区设定一个精度要求，当区间长度间一分为二，并选取合适的点进小于该精度时，停止迭代，输出行检验，逐步逼近方程的根近似解求解多元方程的近似解分区求解线性化2将定义域划分为若干个小1区间，每个小区间内近似将多元方程组转化为一系为一元方程列一元方程，每个一元方程对应一个变量的解迭代过程精度要求3对每个小区间应用二分法，4逐步逼近该区间内的一元设定一个精度要求，当区方程的根间长度小于该精度时，停止迭代，输出近似解求解非线性方程的近似解线性化初始条件和边界条件将非线性方程通过泰勒级数展开根据问题的实际情况，设定初始或其它方法转化为线性方程或一条件和边界条件元方程精度要求迭代过程设定一个精度要求，当区间长度对转化后的线性方程或一元方程小于该精度时，停止迭代，输出应用二分法，逐步逼近方程的根近似解Part二分法的应用实例04用二分法求解一元方程的近似解的实例实例1实例2实例3求解方程$fx=x^3-x求解方程$lnx=2$的近求解方程$xsinx=1$的-1=0$的近似解似解近似解用二分法求解多元方程的近似解的实例010203实例1实例2实例3求解方程组$begin{cases}求解方程组$begin{cases}求解方程组$begin{cases}x+y=1x y=2x+y+z=1xyz=2x-y=1y-z=2z-xend{cases}$的近似解end{cases}$的近似解=3end{cases}$的近似解用二分法求解非线性方程的近似解的实例STEP03求解方程$xlnx=1$的实例3近似解STEP02实例2求解方程$sinx=x$的近似解STEP01实例1求解方程$e^x=x$的近似解Part二分法的注意事项和误差分析05使用二分法的注意事项选择一个合适的初始区间，使得该区间内包含方程的根初始初始区间选择区间的选择会影响二分法的收敛速度和精度在每一步迭代中，需要判断新的区间长度是否小于预设的精度收敛性判断要求，以决定是否继续迭代当区间长度小于预设的精度要求时，应停止迭代，并输出近似停止条件解当迭代过程中出现无法计算的中间值或区间长度不减反增时，异常处理应停止迭代，并考虑是否需要重新选择初始区间或调整精度要求二分法的误差分析区间长度与误差关系迭代次数与误差关系区间长度越短，误差越小因此，选择合随着迭代次数的增加，误差会逐渐减小适的初始区间和迭代过程中的区间长度是但迭代次数过多也可能导致计算量增加，关键影响效率计算精度与误差关系数值稳定性与误差关系提高计算精度可以减小误差，但同时也会在计算过程中，可能会遇到数值不稳定性增加计算量因此，需要在精度和效率之问题，如溢出、下溢或舍入误差等，这些间进行权衡都会影响最终的误差大小。