高等数学课件--86多元函数极值与最值

高等数学微积分课件--86多元函数极值与最值•多元函数极值的基本概念•多元函数的最值•多元函数的极值与最值的求解方法•多元函数极值与最值的应用•习题与解答01多元函数极值的基本概念定义与性质定义设$fx,y$在点$x_0,y_0$的某邻域内有定义，如果对邻域内任意的$x,y$，都有$fx,y leqfx_0,y_0$（或$fx,y geqfx_0,y_0$），则称$fx,y$在点$x_0,y_0$处取得极小值（或极大值）性质极值是局部的，即在一个很小的区域内取得，不是整体的；极值是相对的，即在一个确定的区域内比较得出极值存在的必要条件二阶导数测试如果$fx_0,y_00$，则$fx,y$在点$x_0,y_0$处取得极小值；如果$fx_0,y_00$，则$fx,y$在点$x_0,y_0$处取得极大值边界条件如果函数在区域边界上取得极值，则需要考虑边界条件极值存在的充分条件鞍点定理如果函数在某点的偏导数在该点的值异号，则该点为鞍点，函数在鞍点处取得极值极值的充分条件如果函数在某点的二阶导数等于零，且该点的三阶导数不为零，则该点为极值点02多元函数的最值最值的定义与性质最值的定义在闭区域D上，如果存在一点x0，使得函数fx在x0处取得的值大于或等于D上任何其他点处的函数值，则称fx在D上取得极大值或极小值，极大值和极小值统称为最值最值的性质最值是局部极值，即在定义域内的一定区域内取得最大或最小值的点；最值也可能在定义域的边界点上取得；最值点处的导数可能为零、变号或不存在无界函数的最大值与最小值无界函数的定义函数的取值范围为无穷大或无穷小的函数称为无界函数无界函数的最大值与最小值对于无界函数的最大值和最小值，需要特别注意，因为它们可能不存在例如，函数fx=1/x在区间0,1上是无界的，因为当x趋向于0时，fx趋向于无穷大，所以在这个区间上不存在最小值有界闭区域上的最值问题要点一要点二有界闭区域的定义有界闭区域上最值的求解方法在实数轴上被有限区间[a,b]所包含的点集称为有界闭区域对于有界闭区域上的最值问题，可以通过求导数并令其为零，找到可能的极值点；然后检查这些点的函数值，确定是否为最值；最后比较这些最值与区间端点的函数值，确定整个区间上的最大值和最小值03多元函数的极值与最值的求解方法梯度法梯度法是一种求解多元函数极值的方法，通过计算梯度向量，找到函数值增长01最快的方向，从而确定极值点梯度向量的计算公式为$nabla fx=left frac{partial f}{partial x_1},02frac{partial f}{partial x_2},ldots,frac{partial f}{partial x_n}right$在极值点处，梯度向量与所有方向导数都相等，即$nabla fx=0$03拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解多元函数在约束条件下的01极值的方法它通过引入拉格朗日函数，将约束条件转化为等式约02束，然后求解该等式约束下的极值点拉格朗日乘数法的计算公式为$Lx,lambda=fx03+lambda gx$，其中$gx$是约束条件方向导数与梯度的关系方向导数是函数在某方向上的导数，表示函数在该方向上的变01化率在极值点处，方向导数达到最大或最小值，此时梯度向量与该02方向垂直如果梯度向量与某方向正交，则该方向上的方向导数为零，即03函数在该方向上没有变化04多元函数极值与最值的应用在经济领域的应用生产成本最小化投资组合优化在生产过程中，企业需要最小化生产成在金融领域，投资者需要优化投资组合以本，这可以通过求解多元函数极值来实实现最大收益，这可以通过求解多元函数现，以找到最优的生产方案VS的最值问题，找到最佳的投资组合方案在物理领域的应用弹性力学流体动力学在物理中，弹性力学涉及到物体在外力作用在流体动力学中，需要研究流体在各种条件下的变形问题，通过求解多元函数的极值，下的运动状态，通过求解多元函数的最值，可以找到物体变形的最优状态可以找到最优的流体运动状态在其他领域的应用生物医学地理学在生物医学研究中，多元函数极值与最值的应用也十分地理学中涉及到各种空间数据的分析和处理，通过求解广泛，例如在药物研发、疾病诊断和治疗等方面多元函数的极值和最值，可以更好地理解和分析地理现象05习题与解答习题求函数$gx,y=x^2-$gx,y=x^2-y^2$y^2$在$x^2+y^2010305计算下列函数的极值点在$x^2+y^2leq1$leq1$上的最大值和最小值求函数$fx,y=x^2$fx,y=x^2+y^2$+y^2$在$x^2+0204在$x^2+y^2leq1$y^2leq1$上的最大值和最小值答案与解析$fx,y=x^2+y^2$在$gx,y=x^2-y^2$在求函数$fx,y=x^2+求函数$gx,y=x^2-$x^2+y^2leq1$的极值$x^2+y^2leq1$的极值y^2$在$x^2+y^2leq y^2$在$x^2+y^2leq点为$0,0$和$pm1,0$点为$pm1,0$解析由1$上的最大值和最小值最1$上的最大值和最小值最解析由于$fx,y$是凸函于$gx,y$是凹函数，其极大值为$f0,0=0$，最小大值为$gpm1,0=1$，数，其极值点位于边界上，值点位于边界上，即$pm值为$fpm1,0=1$解最小值为$-infty$解析即$0,0$和$pm1,0$1,0$析由于$fx,y$是凸函数，由于$gx,y$是凹函数，其其最大值和最小值分别出现最大值出现在极值点上，而在极值点和边界上最小值不存在THANKS感谢观看。