高三人教A版数学一轮复习课件：第2章第13节定积分与微积分基本定理

高三人教a版数学理一轮复习课件第2章第13节定积分与微积分基本定理目录•定积分的概念与性质•微积分基本定理•定积分的计算方法•微积分在物理中的应用•习题与解析01定积分的概念与性质定积分的定义总结词定积分的定义是确定函数与区间关系的数学工具，它表示函数在某个区间上的积分和详细描述定积分是微积分的基本概念之一，它表示函数在某个区间上的积分和定积分的定义基于极限的思想，通过将区间分割成许多小的子区间，并在每个子区间上取函数值的平均值，然后将这些平均值相加并取极限，得到函数在区间上的定积分定积分的几何意义总结词定积分的几何意义是表示曲线与x轴所夹的面积详细描述定积分的几何意义是表示曲线与x轴所夹的面积具体来说，对于函数y=fx在区间[a,b]上的定积分，其几何意义就是求由曲线y=fx，直线x=a，x=b以及x轴所围成的平面图形的面积这个面积可以通过定积分的值来唯一确定定积分的性质总结词详细描述定积分具有线性性质、可加性、区间可加性等基本性定积分具有一系列重要的性质，包括线性性质、可加质性、区间可加性等线性性质指的是对于任意两个函数的和或差的积分，其值等于两函数分别积分的和或差可加性指的是对于任意分割的两个子区间[a,b]和[b,c]，函数fx在[a,c]上的积分等于在[a,b]上的积分与在[b,c]上的积分之和区间可加性指的是对于任意两个不重叠的区间[a,b]和[c,d]，函数fx在这两个区间上的积分之和等于函数在[a,d]上的积分这些性质是定积分计算中的重要基础02微积分基本定理微积分基本定理的表述微积分基本定理如果函数$fx$在区间$[a,b]$上连续，那么该函数在这个区间上的定积分$int_{a}^{b}fxdx$等于$Fb-Fa$，其中$Fx$是$fx$的一个原函数原函数定义如果函数$Fx$的导数等于$fx$，即$Fx=fx$，则称$Fx$是$fx$的一个原函数微积分基本定理的应用求定积分计算面积解决物理问题通过微积分基本定理，我们可以微积分基本定理可以用来计算曲微积分基本定理在解决物理问题求出给定函数的定积分，即线下方的面积，即中有着广泛的应用，如求变速直$int_{a}^{b}fxdx=Fb-$int_{a}^{b}fxdx$表示曲线$y线运动的位移、变力做功等问题Fa$=fx$与直线$x=a,x=b$及$y=0$所围成的面积微积分基本定理的推导推导过程微积分基本定理的推导主要基于牛顿-莱布尼兹公式和原函数的概念通过构造一个原函数，并利用牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到微积分基本定理的结论牛顿-莱布尼兹公式如果函数$fx$在区间$[a,b]$上连续，那么$int_{a}^{b}fxdx=Fb-Fa$，其中$Fx$是$fx$的一个原函数03定积分的计算方法定积分的换元法总结词换元法是一种常用的定积分计算方法，通过引入中间变量替换积分变量，将复杂的积分转化为容易计算的积分详细描述换元法的基本思想是通过引入一个中间变量来替换原积分变量，从而改变积分的范围和形式，以便更好地利用积分的性质和公式进行计算在具体操作中，需要求出新变量与原变量的关系，以及新的积分上下限举例例如，在计算$int_{0}^{pi}sqrt{1-sin^{2}x}dx$时，可以设$t=sin x$，则$x=arcsint$，$dx=frac{dt}{sqrt{1-t^{2}}}$，代入原积分得到$int_{0}^{1}frac{t}{sqrt{1-t^{2}}}dt$，这是一个容易计算的积分定积分的分部积分法总结词分部积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法详细描述分部积分法的基本公式是$int uxvxdx=uxvx-int uxvxdx$在应用分部积分法时，需要选择合适的函数u和v，以便将积分转化为容易计算的形式分部积分法在解决一些难以直接计算的定积分问题时非常有效举例例如，在计算$int_{0}^{1}xe^{x}dx$时，可以设$ux=x,ux=1$，$vx=e^{x},vx=e^{x}$，代入分部积分公式得到$int_{0}^{1}xe^{x}dx=xcdot e^{x}|_{0}^{1}-int_{0}^{1}e^{x}dx=e-e^{x}|_{0}^{1}=e-e-1=1$定积分的几何意义计算法总结词01定积分的几何意义是表示函数图像与坐标轴围成的面积，通过几何意义可以直观地计算一些定积分详细描述02定积分的几何意义是函数图像与坐标轴围成的面积在计算定积分时，可以通过观察函数图像的特点，选择合适的几何形状来近似计算面积这种方法在一些特殊情况下非常有效举例03例如，在计算$int_{0}^{2}sqrt{4-x^{2}}dx$时，可以观察到函数图像是一个半圆，其半径为2，因此可以直接计算出面积为$frac{1}{2}times4pi=2pi$04微积分在物理中的应用变速直线运动的路程问题总结词通过微积分计算变速直线运动的路程详细描述在物理学中，变速直线运动的路程可以通过对速度函数进行积分来求解微积分的基本定理告诉我们，定积分等于被积函数在积分区间上的增量，这与物体在变速运动中经过的路程有直接关系通过微积分，我们可以精确地计算出物体在任意时间内的位移，从而得到整个运动过程的总路程变力做功问题总结词利用微积分计算变力做功详细描述在物理学中，变力做功的问题也是通过微积分来解决的根据微积分的基本定理，变力做功等于力函数在位移函数上的积分这意味着，只要知道力函数和位移函数的具体形式，我们就可以通过微积分计算出变力所做的功这对于理解力学和能量转换等问题非常重要液体压力问题总结词详细描述利用微积分计算液体压力在流体力学中，液体压力的计算也是通过微积分来实现的液体压力可以视为液体VS深度和重力加速度的函数，这个函数在垂直方向上会发生变化通过微积分，我们可以计算出在不同深度和位置上的液体压力，这对于理解流体动力学和解决实际问题非常重要05习题与解析习题一解析习题一解析求函数$fx=x^2$在区间$[0,1]$上的定根据定积分的定义，我们可以将区间$[0,积分1]$等分成若干个小区间，然后在每个小区间上取一个代表点，计算函数值，最后求和具体来说，我们可以将区间$[0,1]$等分成$n$个小区间，每个小区间的长度为$frac{1}{n}$然后在每个小区间上取一个代表点，例如第一个小区间的代表点为$x_1=frac{1}{n}$，第二个小区间的代表点为$x_2=frac{2}{n}$，以此类推接着计算每个代表点处的函数值，例如第一个代表点处的函数值为$ffrac{1}{n}=frac{1}{n}^2$最后将这些函数值求和，即得定积分的结果习题二解析习题二解析求函数$fx=x^3$在区间$[0,1]$上的定同样根据定积分的定义，我们可以将区间积分$[0,1]$等分成若干个小区间，然后在每个小区间上取一个代表点，计算函数值，最后求和具体来说，我们可以将区间$[0,1]$等分成$n$个小区间，每个小区间的长度为$frac{1}{n}$然后在每个小区间上取一个代表点，例如第一个小区间的代表点为$x_1=frac{1}{n}$，第二个小区间的代表点为$x_2=frac{2}{n}$，以此类推接着计算每个代表点处的函数值，例如第一个代表点处的函数值为$ffrac{1}{n}=frac{1}{n}^3$最后将这些函数值求和，即得定积分的结果习题三解析要点一要点二习题三解析求函数$fx=x^4$在区间$[0,1]$上的定积分同样根据定积分的定义，我们可以将区间$[0,1]$等分成若干个小区间，然后在每个小区间上取一个代表点，计算函数值，最后求和具体来说，我们可以将区间$[0,1]$等分成$n$个小区间，每个小区间的长度为$frac{1}{n}$然后在每个小区间上取一个代表点，例如第一个小区间的代表点为$x_1=frac{1}{n}$，第二个小区间的代表点为$x_2=frac{2}{n}$，以此类推接着计算每个代表点处的函数值，例如第一个代表点处的函数值为$ffrac{1}{n}=frac{1}{n}^4$最后将这些函数值求和，即得定积分的结果THANK YOU感谢各位观看。