高等数学课件--D122数项级数及审敛法

高等数学课件--d122数项级数及审敛法目录CONTENTS•数项级数的基本概念•数项级数的审敛法•数项级数的求和法•数项级数的应用•习题及答案01数项级数的基本概念数项级数的定义数项级数是无穷多个数相加的总和，表示为数学符号∑它是一种特殊的数学序列，其中每个项都是一个确定的数，而项的数量是无穷的数项级数在数学分析中有着广泛的应用，是研究无穷序列和函数极限的重要工具数项级数的分类有穷级数项数是有限的，因此总和是有限的无穷级数项数是无限的，因此总和可能是有限的、无限的或不存在数项级数的性质收敛性如果数项级数的和是有限的，则称该级数为收敛级数收敛级数的和等于所有项的和发散性如果数项级数的和是无限的或不存在，则称该级数为发散级数发散级数的和不存在或无法表示为一个确定的数值02数项级数的审敛法正项级数的审敛法比值审敛法根值审敛法几何级数审敛法适用于$a1$的几何级数，当适用于正项级数，当适用于正项级数，当$|a|1$时收敛，$|a|1$时$frac{a_{n+1}}{a_n}$的极限$sqrt[n]{a_n}$的极限存在时，发散存在时，极限值小于1则收敛，极限值小于1则收敛，大于1大于1则发散则发散交错级数的审敛法莱布尼茨判别法适用于交错级数，当满足$a_n geq0$且$frac{a_{n+1}}{a_n}leq1$时，级数收敛绝对值审敛法适用于交错级数，当$|a_n|$为正项级数且收敛时，原交错级数也收敛绝对收敛与条件收敛绝对收敛如果级数的每一项都非负或都非正，且整个级数收敛，则称为绝对收敛条件收敛如果级数的每一项符号交替出现，且整个级数收敛，则称为条件收敛03数项级数的求和法直接求和法直接求和法是最基本的求和方法，适用于简单的等差或等比数列通过逐项相加，可以直接得到数列的和例如，对于等差数列1+2+3+...+n，其和为n*n+1/2对于等比数列1+2+4+...+2^n-1，其和为2^n-1裂项求和法裂项求和法适用于可以拆分成两个部分相消的数列通过将数列中的每一项拆分成两个部分，使得相邻两项或几项可以相消，从而简化求和过程例如，对于数列1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n*n+1，可以将其拆分为1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/n+1，从而得到结果为n/n+1错位相减求和法错位相减求和法适用于等比数列与等差数列相乘的形式通过错位相减，可以将等比数列的公比消去，从而得到一个等差数列，再利用等差数列的求和公式进行计算例如，对于数列1*2+2*3+3*4+...+n*n+1，可以将其拆分为1+2+3+...+n+[2*1+2+3+...+n]，然后错位相减得到结果为n*n+1*n+2/304数项级数的应用在数学分析中的应用010203证明数学定理函数逼近微积分基础数项级数在数学分析中常被用来通过数项级数，可以逼近复杂的数项级数是微积分学的基础之一，证明各种数学定理，如泰勒级数、函数，从而简化计算和证明过程对于理解连续函数、可积性、积傅里叶级数等分等概念有重要意义在实数理论中的应用要点一要点二实数构造连续性证明通过数项级数，可以构造实数，如通过柯西序列或戴德金利用数项级数可以证明实数的连续性，以及实数的各种性分割等质和定理在物理及其他领域的应用近似计算在物理和其他工程领域中，经常使用数项级数来进行近似计算，如无穷级数的求和等信号处理在信号处理和工程领域中，傅里叶级数被广泛应用于信号的分解和合成统计学在统计学中，无穷级数被用来描述概率分布和统计规律05习题及答案习题部分01数项级数的概念与性质02判断下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

031.$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$习题部分

2.$sum_{n=1}^{infty}

3.$sum_{n=1}^{infty}-1^nfrac{1}{n^3}$frac{1}{n}$VS习题部分正项级数的审敛法判断下列正项级数是否收敛？

1.$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n ln n}$习题部分

2.$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n ln^2n}$

3.$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n ln^3n}$习题部分01交错级数的审敛法02判断下列交错级数是否收敛？

031.$sum_{n=1}^{infty}-1^n frac{1}{n}$习题部分

2.$sum_{n=1}^{infty}-1^n frac{1}{n^2}$

3.$sum_{n=1}^{infty}-1^n frac{1}{n^3}$答案部分数项级数的概念与性质

011.$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$和02$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^3}$是收敛的，且为绝对收敛而$sum_{n=1}^{infty}-1^n frac{1}{n}$是条件收敛

2.对于正项级数，我们使用比较审敛法、比值审敛法和根03值审敛法进行判断对于交错级数，我们使用莱布尼茨审敛法进行判断答案部分

2.使用根值审敛法，得到

1.使用比值审敛法，得到$sqrt[n]{frac{1}{n ln^2n}}=$frac{1}{n lnn}cdot frac{lnfrac{1}{sqrt[n]{n}}cdot正项级数的审敛法n}{n}=frac{lnn}{n^2}$，当frac{1}{sqrt[n]{ln^2n}}$，当$n$趋于无穷大时，该值趋于$n$趋于无穷大时，该值趋于$0$，因此该级数收敛$0$，因此该级数收敛答案部分•使用比较审敛法，将$\frac{1}{n\ln^3n}$与$\frac{1}{n^3}$进行比较，由于$\frac{1}{n^3}$是收敛的，因此该级数也是收敛的答案部分交错级数的审敛法

1.使用莱布尼茨审敛法，该级数的项的符号交替变化，且每一项的值都小于等于$frac{1}{2^n}$，因此该级数收敛

2.使用莱布尼茨审敛法，该级数的项的符号交替变化，且每一项的值都小于等于$frac{1}{3^n}$，因此该级数收敛

3.使用莱布尼茨审敛法，该级数的项的符号交替变化，且每一项的值都小于等于$frac{1}{4^n}$，因此该级数收敛感谢您的观看THANKS。