2015-2016学年北师大版选修2-2数学归纳法课件

2015-2016学年北师大版选修2-2数学归纳法课件•引言目•数学归纳法的基本原理•数学归纳法的应用实例CONTENCT•数学归纳法的扩展与深化录•总结与回顾•习题与解答01引言课程简介课程目标本课程旨在帮助学生理解数学归纳法的概念、原理和应用，培养逻辑推理和解决问题的能力课程安排本课程将通过讲解、实例演示和练习等多种方式进行学习，使学生全面掌握数学归纳法的知识数学归纳法的定义数学归纳法是一种证明无穷序列或无限集合中的命题的方法，通过有限步骤来证明无限情况数学归纳法包括两个步骤基础步骤和归纳步骤，其中基础步骤证明命题在某个初始值成立，而归纳步骤证明对于任意自然数n，命题都成立数学归纳法的应用场景02证明等式或不等式的恒等性或不等式性质证明组合数学中的一些问题，如排列、组合、概率等0103解决一些数列求和问题，如求前n项和的公式02数学归纳法的基本原理初始步骤初始步骤验证$n=1$时，等式是否成立初始步骤是数学归纳法的第一步，它验证了等式在$n=1$时的成立情况这是整个归纳过程的基础，确保了递推关系的起始点是正确的归纳步骤归纳步骤假设当$n=k$时等式成立，证明当$n=k+1$时等式也成立归纳步骤是数学归纳法的核心，它基于归纳假设，通过一系列推理，证明当$n=k+1$时等式也成立这一步确保了等式的正确性可以由前一步推导出来，从而实现了递推关系的建立归纳假设归纳假设假设当$n=k$时等式成立归纳假设是数学归纳法的关键，它设定了一个假设条件，即当$n=k$时等式成立这个假设是递推关系建立的基础，使得我们可以利用它来证明当$n=k+1$时等式也成立通过归纳假设，我们能够将问题简化，并逐步推导出更一般性的结论03数学归纳法的应用实例等差数列求和公式的证明要点一要点二总结词详细描述通过数学归纳法证明等差数列求和公式，可以得出等差数首先，我们假设等差数列的前$k$项和为$S_k=列的求和公式为$S_n=frac{n}{2}a_1+a_n$frac{k}{2}a_1+a_k$然后，我们使用数学归纳法证明该公式对所有正整数$n$都成立当$n=1$时，公式显然成立假设当$n=k$时公式成立，即$S_k=frac{k}{2}a_1+a_k$那么，当$n=k+1$时，$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=frac{k}{2}a_1+a_k+a_{k+1}=frac{k+1}{2}a_1+a_{k+1}$因此，等差数列求和公式得证二项式定理的证明总结词详细描述通过数学归纳法证明二项式定理，可以得出$a+b^n$首先，我们假设二项式定理对某个正整数$k$成立，即的展开式为$sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$$a+b^k=sum_{i=0}^{k}C_k^i a^{k-i}b^i$然后，我们使用数学归纳法证明该公式对所有正整数$n$都成立当$n=1$时，公式显然成立假设当$n=k$时公式成立，即$a+b^k=sum_{i=0}^{k}C_k^i a^{k-i}b^i$那么，当$n=k+1$时，$a+b^{k+1}=a+ba+b^k=sum_{i=0}^{k}C_k^i a^{k-i}b^i+aa+b^k=sum_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^i a^{k+1-i}b^i$因此，二项式定理得证完全平方数的性质证明总结词详细描述通过数学归纳法证明完全平方数的性质，可以得出如首先，我们假设一个正整数$n$是完全平方数，即存在果一个数是完全平方数，则它的平方根也是完全平方一个正整数$m$使得$n=m^2$然后，我们使用数学数归纳法证明该性质对所有正整数都成立当$n=1$时，性质显然成立假设当某个正整数$k$时性质成立，即存在一个正整数$m$使得$k=m^2$那么，当$n=k+1$时，$m+1^2=m^2+2m+1=k+2m+1=k+2m+1$由于$2m+1$是奇数，所以$m+1^2-m^2=2m+1$是奇数因此，存在一个正整数$m=m+1$使得$m+1^2-m^2=2m+1$是奇数因此，完全平方数的性质得证04数学归纳法的扩展与深化数学归纳法的变种倒数学归纳法在基础步骤之后，使用反向推理来证明结论，适用于某些特定问题双数学归纳法对两个独立的自然数变量同时进行归纳，适用于具有双重性质的问题归纳与演绎结合法将归纳法和演绎法结合使用，以获得更广泛和深入的数学结论数学归纳法的其他应用领域组合数学用于证明关于组合数的性质和公式02图论用于证明关于图的性质和结构的结论0103离散概率论用于证明关于离散随机事件的概率性质数学归纳法的局限性与挑战100%80%80%基础步骤的建立问题适用性归纳假设的使用不是所有数学问题都可以使用数在归纳步骤中，需要巧妙地使用数学归纳法的有效性依赖于基础学归纳法解决，需要具体问题具归纳假设，有时需要创造性思维步骤的正确性，需要仔细验证体分析05总结与回顾本章重点回顾数学归纳法的应用范围和限制数学归纳法在几何证明中的应用数学归纳法在等差数列和等比数列中的应用数学归纳法的定义与原理学习建议与展望01020304深入理解数学归纳法的原理，深入理解数学归纳法的原理，深入理解数学归纳法的原理，深入理解数学归纳法的原理，掌握其应用方法掌握其应用方法掌握其应用方法掌握其应用方法06习题与解答习题部分在此添加您的文本17字在此添加您的文本16字习题1请写出下列数列的通项公式2,3,5,8,13,...在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字1,3,7,13,21,...习题2利用数学归纳法证明对于任意自然数$n$，都有$frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+...+frac{1}{2n}frac{47}{90}$在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字1,1/3,1/7,1/13,1/21,...习题3利用数学归纳法证明对于任意自然数$n$，都有$1^2+2^2+...+n^2=frac{nn+12n+1}{6}$答案与解析部分答案1解析答案2解析答案3解析通过观察数列的规律，我们可以发现首先，我们利用数学归纳法的基础步骤证明首先，我们利用数学归纳法的基础步骤证明数列的通项公式分别为$a_n=n^2-当$n=1$时，不等式成立然后，我们假设当$n=1$时，等式成立然后，我们假设当2n+2$，$b_n=frac{1}{n^2}$和当$n=k$时不等式成立，再证明当$n=k$时不等式成立，再证明当$n=k+1$$n=k+1$时不等式也成立最后，我们得出时不等式也成立最后，我们得出结论对$c_n=F_{n+1}$，其中$F_n$是第结论对于任意自然数$n$，不等式都成立于任意自然数$n$，等式都成立$n$个斐波那契数THANK YOU感谢聆听。