《多元函数全微分》课件

ONE KEEPVIEW2023-2026《多元函数全微分》PPT课件REPORTING•多元函数的基本概念•全微分的概念与性质•偏导数与全微分的关系目•全微分的应用•习题与答案录CATALOGUEPART01多元函数的基本概念多元函数的定义多元函数的定义一个函数如果由一个二元组或更多个有序数组成的有序数集合上的每一点对应于实数的一个值，则称这个函数为多元函数多元函数的表示多元函数通常表示为$z=fx,y$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量多元函数的几何意义平面上的曲线对于二元函数$z=fx,y$，其图像在平面上的表示是一条曲线曲面对于三元函数$z=fx,y,z$，其图像在空间中的表示是一个曲面多元函数的极限与连续性多元函数的极限与一元函数的极限概念类似，当自变量趋近于某一点时，多元函数的函数值趋近于一个常数多元函数的连续性如果一个多元函数在某一点或某一区域内的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点或该区域内连续PART02全微分的概念与性质全微分的定义全微分的定义全微分的几何意义全微分的表达式全微分是函数在某点附近的小改全微分在几何上表示函数图像在若函数在点$x_0,y_0$处的全微变量，它等于各个偏导数与自变某点处的切线斜率分为$dz$，则$dz=frac{partial量改变量的乘积之和f}{partial x}dx+frac{partialf}{partial y}dy$全微分的基本性质线性性质链式法则偏导数的性质若函数$fu$在点$u_0$处可微，若函数$fx,y$在点$x_0,y_0$若函数$fx,y$在点$x_0,y_0$而$u=gx,y$在点$x_0,y_0$处可微，则$frac{partial处可微，则对于任意常数$k$和处可微，则复合函数$fgx,y$f}{partial x}$和$frac{partial$l$，有$dkf+lg=kdf+在点$x_0,y_0$处可微，且f}{partial y}$分别表示$f$关于ldg$$df circgx_0,y_0=fu_0$x$和$y$的偏导数，它们具有与cdot dgx_0,y_0$全微分类似的运算法则全微分在近似计算中的应用泰勒展开式01利用全微分，可以将一个复杂函数展开为多项式形式，用于近似计算误差估计02通过全微分，可以估计函数值改变量与自变量改变量之间的误差大小，有助于提高近似计算的精度导数计算03全微分是导数的几何解释，通过全微分可以更直观地理解导数的物理意义和几何意义PART03偏导数与全微分的关系偏导数的定义与性质偏导数的定义对于一个多元函数，在某一点处对某一变量的导1数偏导数的性质偏导数描述了函数在某一点处沿某一方向的变化2率偏导数的几何意义在二维平面上，偏导数表示函数图像在该点处切3线的斜率偏导数与全微分的关系全微分的定义对于多元函数，在某一点处所有方向的变化率之和偏导数与全微分的关系全微分的几何意义全微分等于所有偏导数之和乘以相应的变量全微分表示函数图像在该点处的小矩形面积增量高阶偏导数与高阶全微分高阶偏导数的定义对于多元函数，对某一变量的二阶、三阶等导数高阶全微分的定义高阶全微分是所有高阶偏导数之和乘以相应的变量增量高阶偏导数与高阶全微分的应用在研究多元函数的极值、凸性、拐点等问题时，高阶偏导数与高阶全微分具有重要应用PART04全微分的应用利用全微分求函数极值总结词利用全微分求函数极值是一种常见的方法，通过计算函数的全微分，可以判断函数在某点的极值情况详细描述在多元函数中，全微分可以表示函数在某一点附近的变化量通过计算全微分，我们可以确定函数在某点的变化方向和变化量，从而判断该点是否为极值点如果全微分为0，则该点可能是极值点，需要进一步验证利用全微分求解方程组总结词全微分可以用于求解包含多个未知数的方程组通过对方程组中的每个方程进行全微分，可以找到方程组的解详细描述全微分可以表示函数值的变化量，当函数满足一定的条件时，全微分为0因此，我们可以将方程组中的每个方程进行全微分，然后令全微分为0，解出未知数的值这种方法称为全微分法利用全微分进行近似计算总结词全微分可以用于进行近似计算，特别是在处理复杂函数时通过计算全微分，可以得到函数在某点附近的近似值详细描述在处理复杂函数时，直接计算函数的值可能非常困难利用全微分，我们可以找到函数在某点附近的近似值具体来说，我们可以将函数的值表示为泰勒级数的形式，然后利用全微分计算泰勒级数的系数，从而得到函数的近似值这种方法称为泰勒展开PART05习题与答案习题01计算题02计算函数$fx,y=x^2+y^2$在点$1,2$的全微分03计算函数$gx,y=sqrt{x^2+y^2}$在点$-1,1$的全微分习题•计算函数$hx,y=\lnx^2+y^2$在点$1,0$的全微分习题01判断题02全微分等于偏微分的和03全微分与偏微分都只与函数和自变量有关，与其他无关习题•全微分与偏微分都只与函数和自变量有关，与其他无关习题01简答题02简述全微分的定义03简述全微分与偏微分的关系简述全微分的应用04答案与解析计算题解析对于函数$fx,y=x^2+y^2$，在点$1,2$处，全微分为$df=frac{partial f}{partial x}dx+frac{partial f}{partial y}dy=4dx+4dy$对于函数$gx,y=sqrt{x^2+y^2}$，在点$-1,1$处，全微分为$dg=frac{partial g}{partial x}dx+frac{partial g}{partial y}dy=-2dx+2dy$答案与解析•对于函数$hx,y=\lnx^2+y^2$，在点$1,0$处，全微分为$dh=\frac{\partial h}{\partial x}dx+\frac{\partial h}{\partial y}dy=\frac{2dx}{x^2+y^2}+\frac{2dy}{x^2+y^2}=\frac{2dx}{1}+\frac{2dy}{0}=2dx$答案与解析判断题解析全微分等于偏微分的和是正确的，因为全微分是各个自变量偏微分的线性组合全微分与偏微分都只与函数和自变量有关，与其他无关是错误的，因为全微分还与函数的值有关答案与解析01此条与上一条重复，故不解析02简答题解析全微分的定义为函数在某点的全微分等于该函数在该03点的各个自变量偏微分的线性组合答案与解析全微分与偏微分的关系是全微分等于偏微分的和，即全微分是各个自变量偏微分的线性组合全微分的应用包括计算近似值、判断函数在某点的可微性和可导性、以及进行函数的局部线性化处理等22002233--22002266END KEEPVIEWTHANKS感谢观看REPORTING。