《复变函数第3讲》课件

《复变函数第3讲》ppt课件目录•复数与复变函数•复变函数的极限和连续性•复变函数的导数与积分•幂级数与泰勒级数•解析函数与全纯函数•调和函数与次调和函数Part复数与复变函数01复数的概念总结词定义与性质详细描述复数是由实数和虚数两部分组成的数，形式为$z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$复数具有加法、减法、乘法和除法等运算性质复数的几何意义总结词几何表示详细描述复数在几何上可以用平面上的点或向量来表示实轴表示实数部分，虚轴表示虚数部分复数的模表示点或向量到原点的距离，幅角表示点或向量在实轴上的投影与正实轴之间的夹角复数代数形式的乘除运算总结词运算规则详细描述复数的乘法运算可以按照分配律进行，如$a+bic+di=ac-bd+ad+bci$除法运算可以通过乘以共轭复数的方法进行，如$frac{a+bi}{c+di}=frac{a+bi}{c+di}times frac{c-di}{c-di}=frac{ac+bd+bc-adi}{c^2+d^2}$Part复变函数的极限和连续性02复变函数的极限定义性质计算方法对于复数函数fz，若z0是极限具有唯一性、有界性、利用极限的运算法则和复z平面上的一点，当z趋于局部有界性、局部保序性、合函数的极限运算法则进z0时，fz的极限存在，则局部四则运算性质行计算称fz在z0有极限复变函数的连续性性质连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复定义合性如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当|z-z0|δ时，有|fz-fz0|判定方法ε，则称fz在z0处连续利用连续性的定义和性质进行判定复数函数在无穷远点的极限定义对于复数函数fz，若当z趋于无穷远处时，fz的极限存在，则称fz在无穷远处有极限性质无穷远点的极限具有唯一性、局部有界性和局部保序性计算方法利用极限的运算法则和复合函数的极限运算法则进行计算Part复变函数的导数与积分03复变函数的导数STEP03通过极限定义，利用实部计算方法和虚部的导数计算复变函数的导数STEP02导数表示函数在某一点的几何意义切线斜率，即函数在该点的变化率STEP01复变函数的导数定义为函定义数在复平面上的切线的斜率复数函数的积分定义几何意义复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个积区间上的增量计算方法通过分割区间、近似函数、求和、取极限的方法计算复数函数的积分柯西积分公式定义柯西积分公式是复变函数中的一个基本公式，用于计算复数函数的积分应用柯西积分公式在复变函数中有着广泛的应用，可以用于求解一些复杂的积分问题，简化计算过程Part幂级数与泰勒级数04幂级数幂级数的定义幂级数的性质幂级数的应用幂级数是形如a_0+a_1x+幂级数具有很多重要的性质，如幂级数在数学分析、微积分、复a_2x^2+ldots的无穷级数，其收敛性、可导性、可积性等这变函数等领域有广泛的应用例中a_0,a_1,a_2,ldots是常数，些性质使得幂级数在数学和物理如，它可以用来求解微分方程、x是变量中有广泛的应用积分方程，以及研究函数的性质等泰勒级数泰勒级数的定义泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式泰勒级数的性质泰勒级数具有很多重要的性质，如收敛性、可导性、可积性等这些性质使得泰勒级数在数学和物理中有广泛的应用泰勒级数的应用泰勒级数在数学分析、微积分、复变函数等领域有广泛的应用例如，它可以用来求解微分方程、积分方程，以及研究函数的性质等此外，泰勒级数还在数值分析、计算物理等领域有重要的应用Part解析函数与全纯函数05解析函数的概念解析函数如果一个复函数在某区域内的每一点都可微，则称该函数在该区域内解析泰勒级数一个在某点解析的函数，可以展开为该点的泰勒级数解析函数的几何意义曲线在每点的切线斜率都存在全纯函数的性质定义域全纯函数的定义域是复平面上的一个区域值域柯西积分公式全纯函数的值域是实数域上的一个区域对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算其在任意点的值全纯函数的积分表示积分公式全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分柯西积分定理对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零柯西积分公式与全纯函数的积分表示全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到Part调和函数与次调和函数06调和函数的概念调和函数如果一个复平面上的可微函数fz的实部和虚部都是调和01的，则称fz是调和函数0203解析函数共轭函数如果一个复平面上的可微函数fz的实如果一个复平面上的可微函数fz满足部和虚部都是可微的，则称fz是解析fz=gz，则称fz和gz是共轭函数函数次调和函数的性质次调和函数的导数仍然是次调和函数的实部和虚部次调和函数的导数在边界调和的都是次调和的上为零次调和函数的积分表示STEP03次调和函数的积分表示形式也可以通过级数展开得到STEP02次调和函数的积分表示形式为∫Hx,ydxdy，其中Hx,y是调和函数STEP01次调和函数的积分表示可以通过对调和函数的积分得到THANKS感谢您的观看。