同济高数第6章课件第3节

同济高数第6章课件第3节•引言•知识点一极限的定义与性质•知识点二函数的连续性•知识点三导数的概念与性质目•知识点四微积分基本定理•习题与解答录contents01引言CHAPTER本节内容的背景和重要性背景本节内容主要介绍了微积分中的极限概念，它是微积分学的基础，对于理解后续章节的内容至关重要重要性极限概念是微积分学的核心，掌握好极限的概念和性质是学好微积分的关键极限理论在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维和数学素养具有重要意义本节内容的结构和组织第二部分介绍极限的性质，本节内容分为三个部分极包括唯一性、有界性、局部限的定义、极限的性质和极保号性等限的运算第一部分介绍极限的定义，第三部分介绍极限的运算，包括数列的极限和函数的极包括四则运算法则和复合函限数的极限运算02知识点一极限的定义与性质CHAPTER极限的定义极限的定义极限是描述函数在某一点附近的变化趋势的数学概念对于函数$fx$，如果当$x$趋近于某个值$a$时，$fx$的值趋近于某个确定的数$L$，则称$L$为$fx$在点$a$处的极限定义中的关键词趋近、确定、变化趋势极限的性质唯一性一个函数的极限是唯一的，即对于同一个函数和同一个点，极限值是唯一的有界性函数的极限值是有界的，即极限值不会无限大或无限小局部有界性函数在某点附近的极限值存在，则该函数在该点附近是有界的极限的计算方法代数法01利用极限的四则运算法则和幂次运算法则进行计算夹逼法02通过比较函数与夹逼函数在某点的极限值，从而得到原函数的极限值洛必达法则03当分子和分母的极限都存在时，可以使用洛必达法则求取极限值03知识点二函数的连续性CHAPTER连续性的定义总结词描述函数在某一点的连续性详细描述如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续即，如果limx→x0fx=fx0，则函数f在点x0处连续连续函数的性质总结词描述连续函数的性质

3.连续函数具有局部性质，即如果f在详细描述x0处连续，且limx→x0gx=A，则g在x0处连续

2.如果一个函数在某一点的导数存在，

1.连续函数在其定义域内是可导的则该函数在该点连续函数的间断点及其分类总结词

1.第一类间断点

2.第二类间断点描述函数的间断点及其分类函数在该点的左右极限都存在，函数在该点的左右极限至少有一但不相等包括跳跃间断点和可个不存在包括无穷间断点和振去间断点荡间断点04知识点三导数的概念与性质CHAPTER导数的定义总结词导数是函数在某一点的变化率，是函数在某一点切线的斜率详细描述导数定义为函数在某一点附近无穷小增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于0时的极限，它反映了函数在某一点附近的变化趋势，即切线的斜率导数的几何意义总结词导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线斜率详细描述函数在某一点的导数即为该点处切线的斜率导数越大，切线斜率越大，表示函数在该点附近增加得快；导数越小，切线斜率越小，表示函数在该点附近增加得慢导数的计算方法总结词导数的计算方法包括基本初等函数的导数公式、复合函数求导法则和隐函数求导法则等详细描述基本初等函数的导数公式是计算导数的基础，包括常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数的导数公式复合函数求导法则包括链式法则和乘积法则，用于计算由多个基本初等函数复合而成的复合函数的导数隐函数求导法则用于计算由一个方程确定的函数的导数05知识点四微积分基本定理CHAPTER微积分基本定理的表述微积分基本定理对于可导函数$fx$，其定积分$int_{a}^{b}fxdx$等于$fx$的原函数$Fx$在$[a,b]$区间的值差，即$int_{a}^{b}fxdx=Fb-Fa$微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它建立了定积分与原函数之间的联系，为解决定积分问题提供了重要的方法和思路微积分基本定理的应用求定积分通过微积分基本定理，可以直接求出某些函数的定积分值，特别是对于一些不易直接积分的函数，可以利用该定理转化为求原函数值差的形式计算面积微积分基本定理可以用于计算平面图形的面积，通过求出函数与坐标轴围成的面积的定积分，得到该平面图形的面积解决物理问题在物理问题中，微积分基本定理常常用于计算变力的做功、质点的位移等问题，通过将变力或位移分解为微小部分，再利用定积分进行求解微积分基本定理的证明证明思路证明过程微积分基本定理的证明主要基于极限和首先定义原函数$Fx$为$fx$的不定积连续函数的性质，通过构造原函数的差分，然后利用极限定理将定积分分形式，利用极限定理推导出定积分的VS$int_{a}^{b}fxdx$转化为$Fb-Fa$计算公式的形式，证明过程中需要验证极限的合法性以及等式的成立06习题与解答CHAPTER本节内容的习题题目3求函数$fx=x^2-2x$在题目2区间$0,3$的积分求函数$fx=lnx^2+1$题目1的极值点求函数$fx=x^3-3x^2+4$的单调区间习题的解答与解析题目1解析题目2解析题目3解析首先求导数$fx=3x^2-6x$，令首先求导数$fx=frac{2x}{x^2+首先求原函数在区间$0,3$的积分值，$fx0$，解得$x0$或$x2$；1}$，令$fx=0$，解得$x=0$由微积分基本定理可得$int_{0}^{3}令$fx0$，解得$0x2$，因在区间$-infty,0$，$fx0$，函x^{2}-2x dx=[frac{1}{3}x^{3}-此单调增区间为$-infty,0$和$2,数递减；在区间$0,+infty$，$fx x^{2}]_{0}^{3}=frac{1}{3}times+infty$，单调减区间为$0,2$0$，函数递增因此，极小值点为3^{3}-3^{2}=frac{27}{3}-9=$x=0$frac{9}{3}-frac{27}{3}=-frac{18}{3}=-6$THANKS感谢观看。