复变函数课件5-习题

复变函数课件5-习题目录•复数与复变函数•复变函数的极限与连续性•复变函数的积分•幂级数与泰勒级数•复变函数的幂级数展开式与洛朗兹级数展开式复数与复变函数01复数的概念复数01由实部和虚部构成的数，表示为$z=a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$实数02在复数中，如果虚部为0，则该复数为实数虚数03在复数中，如果实部为0，则该复数为虚数复数的运算加法减法乘法除法按照实部和虚部分别相按照实部和虚部分别相按照分配律和结合律进通过乘以共轭复数的方加的原则进行减的原则进行行，即$a+bic+di法进行，即=ac-bd+$frac{a+bi}{c+di}=ad+bci$frac{a+bic-di}{c+dic-di}$复变函数的概念定义域值域单值函数多值函数函数$fz$的定义域是函数$fz$的值域是指对于定义域内的每一个对于定义域内的每一个指所有使$fz$有意义函数所有可能取值的集$z$，函数$fz$只有$z$，函数$fz$可能的$z$的集合合一个值与之对应有两个或更多的值与之对应复变函数的极限与连续性02复变函数的极限010203极限的定义极限的性质极限的计算复变函数的极限是指当自极限具有唯一性、有界性、通过计算自变量趋于某一变量趋于某一点时，函数局部有界性、局部有界性点时的函数值，可以求得值的趋近方式等性质复变函数的极限复变函数的连续性连续性的性质连续函数具有连续性、可积性、可连续性的定义微性等性质如果当自变量在某一点附近的小范围内变化时，函数值也相应地做有限变化，则称函数在该点连续连续性的判定通过判断函数在某一点处的极限是否等于函数值，可以判定函数的连续性复变函数的可微性可微性的定义可微性的性质可微性的判定如果函数在某一点的导数可微函数具有连续性、可通过判断函数在某一点的存在，则称该函数在该点积性、可导性等性质导数是否存在，可以判定可微函数的可微性复变函数的积分03复变函数的积分定义积分起点和终点积分值在复平面上，选择一个起点和一个终根据积分路径的形状和函数的形式，点，并计算函数在起点和终点之间的计算出积分值线段上的积分积分路径积分路径可以是任意形状的闭合曲线，也可以是直线段或圆弧柯西积分公式公式形式应用范围注意事项如果函数fz在包含原点的区域D柯西积分公式适用于解析函数在使用柯西积分公式时，需要确保内解析，且z_0不属于D，那么对某个区域内的积分计算函数在区域内是解析的，且积分于D内的任意点z，有路径可以任意选择，但必须不经fz=1/2πi∮z_0→zft/t-zdt过区域内的任何奇点解析函数的积分表示解析函数如果一个复变函数在其定义域内处处可导，则称该函数为解析函数积分表示如果fz是一个解析函数，那么它可以在其定义域内表示为某个实数范围内的实函数的积分形式即fz=∫a→bftdt+c，其中a和b是实数，c是常数幂级数与泰勒级数04幂级数展开式幂级数展开式将函数表示为无穷级数的形式，即$fz=a_0+a_1z-z_0+a_2z-z_0^2+cdots$，其中$a_0,a_1,a_2,ldots$是常数收敛域幂级数的收敛域是指使得级数收敛的$z$的取值范围收敛域的确定需要考虑各项系数的性质和级数的收敛条件应用幂级数展开式在复变函数中有着广泛的应用，例如求解函数的积分、求函数的极限、研究函数的性质等泰勒级数展开式泰勒级数展开式将函数表示为带有导数项的无穷级数，即$fz=fz_0+fz_0z-z_0+frac{fz_0}{2!}z-z_0^2+cdots$，其中$fz_0,fz_0,ldots$是函数在$z_0$处的导数值收敛域泰勒级数的收敛域通常比幂级数更广泛，但也受到一些限制条件，例如需要考虑奇点、分支点等应用泰勒级数展开式在复变函数中也有着重要的应用，例如求解函数的积分、研究函数的性质、分析函数的极限等洛朗兹级数展开式洛朗兹级数展开式将函数表示为带有积分项的无穷级数，即$fz=int_{a}^{b}ftz-t^{-1}dt$，其中$a,b$是常数，$ft$是已知函数收敛域洛朗兹级数的收敛域取决于已知函数$ft$的性质和积分路径在某些条件下，洛朗兹级数可能只在复平面的某个区域内收敛应用洛朗兹级数展开式在复变函数中也有一定的应用，例如求解某些特殊函数的积分、研究函数的性质等复变函数的幂级数展开式与洛朗兹级数展开式05幂级数展开式的应用函数逼近幂级数展开式可以用来逼近复杂的函数，通过选取适当的幂级数，可以近似表示任意复变函数解析延拓对于一些在特定区域内解析的函数，幂级数展开式可以用来进行解析延拓，扩展函数的定义域积分计算利用幂级数展开式，可以将复杂的积分转化为易于计算的级数求和，简化计算过程洛朗兹级数展开式的应用函数表示洛朗兹级数展开式可以用来表示复杂的函数，特别是那些在复平面上有多个极点的函数奇点分析通过分析洛朗兹级数的系数，可以确定函数的奇点位置和性质，有助于理解函数的性质函数分解对于一些难以直接分解的函数，洛朗兹级数展开式可以提供一种有效的分解方法幂级数与洛朗兹级数的比较适用范围01幂级数展开式适用于具有多项极点的函数，而洛朗兹级数展开式则更适合具有单一极点的函数逼近精度02对于相同的函数，幂级数展开式的逼近精度通常高于洛朗兹级数展开式计算复杂性03幂级数展开式的计算相对简单，而洛朗兹级数展开式的计算较为复杂，需要更多的计算资源谢谢聆听。