复变函数第四版课件-章节

复变函数第四版课件•复数与复变函数•复变函数的极限与连续性•微分方程•积分与全纯函数目•幂级数与展开式•傅里叶分析录contents01复数与复变函数复数及其性质010203复数的定义复数的几何表示复数的运算性质复数是形式为a+b i复数可以用平面上的点来复数可以进行加、减、乘、（a,b∈R）的数，其中i是表示，横坐标为实部，纵除等运算，满足交换律、虚数单位，满足i^2=-1坐标为虚部结合律和分配律复数的几何表示复平面点的表示向量的表示以实轴为横轴，虚轴为纵每个复数z=a+bi在复平面每个复数z=a+bi在复平面轴，原点为起点的平面称上对应一个点a,b上对应一个向量从原点出为复平面发，终点在a,b复数在平面上的向量表示向量的起点和终点向量的旋转向量的起点是实轴上的点，终点是虚通过旋转向量可以表示复数的旋转轴上的点向量的长度和方向向量的长度是复数的模，方向与实轴之间的夹角是复数的辐角02复变函数的极限与连续性复变函数的极限极限的性质复变函数的极限具有与实数函数类极限的定义似的性质，如局部有界性、局部保序性等复变函数的极限是函数在某点附近的性质，与实数函数的极限定义类似，但需要考虑复数域的特性无穷远点的极限对于一些特定的复变函数，其在无穷远点的极限也是需要考虑的复变函数的连续性连续性的定义连续性的性质连续性的应用如果复变函数在某点处的极限值连续性具有一些重要的性质，如连续性在解决一些实际问题时非等于该点的函数值，则函数在该闭区间上的连续函数一定有界，常有用，如求解微分方程、积分点连续连续函数可以一致逼近等方程等复变函数的导数导数的定义复变函数的导数是函数值随自变量变化的速率，其定义与实数函数的导数定义类似导数的性质导数具有一些重要的性质，如链式法则、乘积法则、商的法则等导数的应用导数在解决一些实际问题时非常有用，如求解微分方程、优化问题等03微分方程一阶微分方程定义一阶微分方程是包含一个导数项的方程举例dy/dx=y,其中yx是未知函数，x是自变量解法通过积分求解一阶微分方程，得到函数的表达式高阶微分方程定义高阶微分方程包含多个导数项的方程1举例d^2y/dx^2=y，其中y表示y的二阶导数2解法通过求解高阶微分方程，得到函数的表达式3线性微分方程组举例d y1/d x=y2,d^2y2/dx^2=y1，其中y1和y2是未知函数定义线性微分方程组是由多解法个线性微分方程组成的方程组通过求解线性微分方程组，得到函数的表达式04积分与全纯函数复平面的积分复平面上的路径01在复平面上，积分可以通过沿着不同的路径进行计算，包括直线、圆、椭圆等积分公式02复平面上的积分公式与实数域上的类似，但需要考虑复数的模和幅角积分定理03复平面上的积分定理包括柯西定理、格林定理和斯托克斯定理等全纯函数与留数定理全纯函数的定义全纯函数是指在其定义域内解析的函数，即其导数在任何点上都存在留数定理留数定理是全纯函数的一个重要性质，它描述了函数在闭曲线上的积分与其留数的乘积留数的计算留数的计算涉及到对函数进行极点的分析，并利用极点处的函数值进行计算柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式柯西积分公式是复变函数中的一个基本公式，它描述了函数在给定点上的值与其积分之间的关系高阶导数公式高阶导数公式是关于全纯函数的导数的公式，它描述了函数在给定点处的导数与其积分之间的关系应用举例柯西积分公式和高阶导数公式在解决复变函数的定积分、微分和积分方程等问题中有着广泛的应用05幂级数与展开式幂级数展开式幂级数展开式的定义幂级数是一种无穷级数，可以表示为$fz=a_0+a_1z+a_2z^2+cdots$的形式，其中$a_0,a_1,a_2,ldots$是常数，$z$是复数幂级数展开式的性质幂级数具有收敛性、唯一性和可加性等性质收敛性是指级数的部分和序列收敛到某个值；唯一性是指不同的幂级数展开式对应不同的函数；可加性是指函数的有限个不重叠的区间上的幂级数展开式之和仍为该函数的幂级数展开式幂级数展开式的应用幂级数展开式在复变函数中有着广泛的应用，如求解微分方程、研究函数的性质和计算积分等泰勒级数展开式泰勒级数展开式的定义泰勒级数展开式的性质泰勒级数展开式的应用泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，泰勒级数具有收敛性、唯一性和可加泰勒级数展开式在复变函数中有着广可以表示为$fz=性等性质收敛性是指级数的部分和泛的应用，如求解微分方程、研究函sum_{n=0}^{infty}序列收敛到某个值；唯一性是指不同数的性质和计算积分等frac{f^{n}a}{n!}z-a^n$的形式，的泰勒级数展开式对应不同的函数；其中$f^{n}a$表示函数$fz$在点可加性是指函数的有限个不重叠的区$a$处的导数间上的泰勒级数展开式之和仍为该函数的泰勒级数展开式洛朗兹级数展开式洛朗兹级数展开式的洛朗兹级数展开式的洛朗兹级数展开式的定义性质应用洛朗兹级数是复变函数中的一种特殊洛朗兹级数具有收敛性、唯一性和可洛朗兹级数展开式在复变函数中有着形式的幂级数，可以表示为$fz=加性等性质收敛性是指级数的部分广泛的应用，如求解微分方程、研究sum_{n=-infty}^{infty}c_nz-和序列收敛到某个值；唯一性是指不函数的性质和计算积分等a^n$的形式，其中$c_n$是复常数，同的洛朗兹级数展开式对应不同的函$z$是复数数；可加性是指函数的有限个不重叠的区间上的洛朗兹级数展开式之和仍为该函数的洛朗兹级数展开式06傅里叶分析傅里叶级数与傅里叶积分傅里叶级数将周期函数表示为无穷级数，其中每个项都是正弦或余弦函数傅里叶积分将非周期函数表示为积分形式，通过积分来描述函数的频率和振幅傅里叶变换的性质线性性质如果对两个函数的和或差进行傅里叶变换，结果等于对每个函数分别进行傅里叶变换后的结果的和或差频移性质对函数进行平移后再进行傅里叶变换，相当于将频谱进行平移共轭性质如果一个函数的实部和虚部互为共轭，则其傅里叶变换的实部和虚部也互为共轭傅里叶变换的应用信号处理通过傅里叶变换将信号分解成不同频率的成分，以便更好地分析和处理图像处理傅里叶变换在图像处理中用于图像的频域分析和滤波控制系统通过傅里叶变换分析系统的频率响应，以优化系统的性能THANKS感谢观看。