复变函数课件1-6复变函数的极限和连续性

复变函数课件1-6CONTENTS•复数与复变函数•复变函数的极限目录•复变函数的连续性•导数与微分•可微性与可积性•积分与级数CHAPTER01复数与复变函数复数的概念010203复数复数的模共轭复数由实部和虚部组成的数，表示复数的大小，定义为实部相同，虚部相反的复表示为a+bi，其中a和|z|=√a^2+b^2数b是实数，i是虚数单位复数的运算加法减法乘法除法满足交换律和结合律，按照分配律和乘法公式可以按照实部和虚部分按照加法的规则进行通过乘以共轭复数进行进行别相加复数在平面上的表示01020304复平面点的坐标单位圆辐角以实轴和虚轴构成的平面，表每个复数在复平面上对应一个模为1的复数在复平面上构成表示复数在单位圆上的角度，示复数的几何意义点，该点的坐标为a,b的圆与正实轴的夹角CHAPTER02复变函数的极限函数极限的定义函数极限的描述性定义当自变量趋近于某一值时，函数值无限接近于某一常数，则称该常数为函数的极限函数极限的精确定义对于任意小的正数$varepsilon$，存在某个正数$delta$，当$|z-z_0|delta$时，有$|fz-L|varepsilon$，其中$z_0$是自变量的值，$L$是函数的极限函数极限的性质极限的唯一性极限的保序性若$fz$在点$z_0$处的极限存在，且$fz_1leq fz_2$（或$fz_1geq若函数在某点的极限存在，则该极限fz_2$），则$fz$在点$z_0$处的极是唯一的限也满足该不等式极限的局部性函数在某点的极限只与该点附近的函数值有关，而与远离该点的函数值无关函数极限的计算直接代入法夹逼法洛必达法则对于简单的函数，可以直通过比较函数与两个已知当函数的分子和分母都趋接将自变量代入函数中计极限的函数之间的关系，于零时，可以分别求导后算极限利用已知的夹逼定理来计再取极限，以计算函数的算函数的极限极限CHAPTER03复变函数的连续性连续性的定义复变函数在某点连续如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得对于定义域中满足$|z-z_0|delta$的任意$z$，都有$|fz-fz_0|epsilon$，则称复变函数$fz$在点$z_0$处连续复变函数在区间上连续如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得对于定义域中满足$|z-z_0|delta$的任意$z$，都有$|fz-fz_0|epsilon$，则称复变函数$fz$在区间上连续连续性的性质连续函数的和、差、有限个连续函数的复积仍为连续函数合仍为连续函数连续函数的复合函数仍为连续函数连续性的计算利用极限的性质计算连续性通过求函数的极限来判断函数在某点的连续性利用等价无穷小计算连续性在求极限的过程中，如果能够将函数替换为等价的无穷小，则可以简化计算过程利用导数计算连续性如果一个函数在某点的导数存在，则该函数在该点连续CHAPTER04导数与微分导数的定义导数的几何意义导数的数学定义导数的表示符号导数描述函数图像在某一点的切函数在某一点的导数是该函数在常用fx表示函数f在x处的导数线斜率这一点附近的小增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于0时的极限导数的性质线性性质若fx和gx在某点可导，则[fx+gx]和1[fxgx]在相应点也可导，且[fx+gx]=fx+gx，[fxgx]=fxgx+fxgx链式法则若复合函数y=fu，u=gx在相应点可导，则复2合函数y=fgx在相应点也可导，且yu=u*fu幂函数的导数幂函数y=x^n的导数为y=nx^n-13导数的计算复合函数的导数利用链式法则，可以求出复合函数四则运算的导数的导数利用导数的性质，可以求出函数加减乘除的导数幂函数的导数利用幂函数的导数公式，可以求出幂函数的导数CHAPTER05可微性与可积性可微性的定义函数在某点的可微性如果函数在某点的极限存在，则称该函数在该点可微导数的定义函数在某点的导数表示函数在该点的切线斜率可微函数的定义如果函数在某点的导数存在，则称该函数在该点可微可微性的性质可微函数的导数连续如果函数在某点可微，则其导数在该点连续导数的几何意义导数表示函数在某点的切线斜率，即函数在该点的变化率导数的运算性质导数具有线性、乘积、商和复合等运算性质可微性的计算导数的计算公式对于多项式、三角函数、指数函数等常见函数的导数，有相应的计算公式导数的计算方法通过极限的运算法则和复合函数的求导法则，可以计算函数的导数导数的实际应用在物理、工程和经济等领域中，导数的计算可以帮助我们了解和解决许多实际问题CHAPTER06积分与级数积分与级数的定义积分定义复变函数中的积分定义为沿曲线的有向长度乘以某一复数值函数的积分它表示函数在曲线上的累积效应级数定义级数是一系列数的和，可以表示为无穷多个项相加的形式在复变函数中，级数通常用于表示函数的展开式积分与级数的性质积分性质包括线性性质、可加性、区间可加性等这些性质描述了积分运算在复变函数中的行为和特性级数性质包括收敛性、绝对收敛性、一致收敛性等这些性质决定了级数在复平面上的行为和收敛范围积分与级数的计算积分计算包括直接积分法、参数方程法、格林公式等这些方法可以帮助我们计算复变函数在不同曲线上的积分值级数计算包括逐项积分、部分分式分解、洛朗兹展开等这些方法可以帮助我们计算复变函数的级数展开式，并了解函数的性质和行为THANKS[感谢观看]。