大一高数课件第十章

大一高数课件第十章•引言•极限与连续•导数与微分•导数的应用目录•原函数与不定积分•定积分contents01引言章节概述介绍章节的主要内容和结构，包括微积分的基本概念、极限、连续性、导数等强调微积分在数学和科学领域的重要性和应用，以及在本章中的具体应用学习目标01掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性和导数等02理解微积分在解决实际问题中的应用，如速度、加速度、切线斜率等03能够运用微积分的知识解决一些简单的数学问题，如求函数的极值、求曲线的长度等02极限与连续极限的定义与性质极限的定义极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学概念，即当自变量趋近于某一值时，函数值的变化趋势极限的性质极限具有一些重要的性质，如唯一性、有界性、局部保号性等，这些性质在研究函数的极限行为时非常重要极限的运算四则运算复合函数与复合运重要极限算在求函数极限时，可以利用四则复合函数在求极限时需要注意内有一些特殊的极限形式，如运算法则，将复杂的函数极限转外函数的极限关系，以及复合运lim1+1/x^x=e，limsinx/x=1化为简单的函数极限，从而简化算的顺序，以确保计算正确等，这些重要极限在求复杂函数计算极限时可以提供方便函数的连续性连续性的定义如果函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续连续性的性质连续函数具有一些重要的性质，如零点定理、介值定理等，这些性质在研究函数的连续性时非常重要连续性与可导性连续函数不一定可导，但可导函数一定连续了解连续性与可导性的关系对于理解微积分的基本概念非常重要03导数与微分导数的定义与性质导数的定义导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数值的增量与自变量增量的比值在增量趋于0时的极限导数的性质导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则、链式法则等，这些性质在导数的计算和推导中具有重要作用导数的计算基本初等函数的导数01对于一些常见的初等函数，如幂函数、指数函数、三角函数等，它们的导数已经给出，可以直接使用导数的四则运算02通过导数的性质，可以方便地计算复合函数、幂函数、对数函数等的导数隐函数和参数方程所确定的函数的导数03对于由隐函数或参数方程所确定的函数，可以通过求偏导数或全导数来计算其导数微分的概念与运算微分的定义微分是函数在某一点处的线性逼近，即函数在该点附近的小增量可以用线性函数近似代替微分的运算微分运算包括微分的四则运算、复合函数的微分、微分在近似计算中的应用等微分与导数的关系微分和导数是密切相关的概念，它们描述了函数在某一点附近的变化特性，导数是微分的商，而微分是导数的几何意义04导数的应用函数的单调性总结词判断函数在某区间的单调性详细描述通过求导数，分析导数的正负来判断函数在某区间的单调性如果导数在某区间内恒大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数在某区间内恒小于0，则函数在此区间内单调递减函数的极值总结词详细描述确定函数在某点的极值根据导数的性质，当一元函数在某点的导数为0，且该点两侧的导数符号相反时，VS该点为函数的极值点极值点处函数取得局部最大值或最小值曲线的凹凸性总结词详细描述判断曲线的凹凸性通过求二阶导数，分析二阶导数的正负来判断曲线的凹凸性如果二阶导数在某区间内恒大于0，则曲线在此区间内凹；如果二阶导数在某区间内恒小于0，则曲线在此区间内凸05原函数与不定积分原函数与不定积分的概念原函数不定积分如果一个函数的导数等于另一个函数，则这个不定积分是微分的逆运算，即求一个函数的原函数称为另一个函数的原函数函数的过程积分符号不定积分通常用∫表示，其后的括号内为被积函数不定积分的计算方法直接积分法利用基本初等函数的性质，将不定积分转化为已知的原函数换元积分法通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将不定积分转化为容易计算的形式分部积分法通过将两个函数的乘积进行求导，将不定积分转化为容易计算的形式积分的应用物理应用在物理中，积分常用于求解与速度、加速度、质量、电荷等相关的物理量工程应用数学应用在工程中，积分常用于解决与流体、振动、在数学中，积分常用于求曲线的长度、面积、热传导、电路等相关的实际问题体积等几何量06定积分定积分的概念与性质定积分的定义定积分是积分的一种，是函数在区间上的积分和的极限定积分的性质包括线性性质、可加性、区间可加性、比较定理等定积分的几何意义定积分可以理解为曲线下面积，即由曲线、x轴及x轴以上部分围成的平面图形面积定积分的计算方法换元法换元法是计算定积分的一种常用方法，通过换元可微积分基本定理以简化积分计算微积分基本定理是计算定积分的最基本方法，它将定积分转化为不定积分的计算分部积分法分部积分法是另一种计算定积分的方法，通过将积分拆分为两个部分相乘，然后分别积分，最后求和定积分的应用变速直线运动的路程通过定积分可以计算变速直线运动的路程1曲线下面积定积分可以用来计算曲线下面积，例如求曲线2y=fx与直线x=a、x=b及x轴所围成的平面图形面积变力做功通过定积分可以计算变力做功，例如求力fx在3[a,b]上的功THANKS。