大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概念

大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概念•多元函数的定义与表示目录•多元函数的极限Contents•多元函数的连续性•多元函数的可微性01多元函数的定义与表示定义多元函数多元函数全纯函数设D是一个非空实数集合，P是实若定义域D中存在两个或两个以上如果一个多元函数在其定义域内数集合中的一个非空子集，若对的自变量，则称该函数为多元函的每一点都可微，则称该函数为于每一个x∈D，P中有一个确定数全纯函数的数值y与之对应，则称y是x的函数，记作y=fx，其中x是自变量，y是因变量，P称为定义域，D称为值域表示方法代数表示法向量表示法用代数符号表示多元函数的各个分量将多元函数的各个分量表示为向量或矩阵的形式隐函数表示法将多元函数表示为一个方程组，通过解方程组得到各个分量多元函数的几何意义平面曲线超曲面对于二元函数z=fx,y，其几何对于n元函数z=fx1,x2,...,xn，意义为平面上的曲线其几何意义为n+1维空间中的超曲面三维曲面流形对于三元函数z=fx,y,z，其几对于多元函数的各个分量，可何意义为三维空间中的曲面以构成一个流形，流形是几何学中一个重要的概念02多元函数的极限一元函数极限的定义与性质定义对于函数$fx$，若在点$x_0$的某一去心邻域内，当$x$无限趋近于$x_0$时，函数值$fx$无限趋近于某一常数$A$，则称$A$为函数$fx$在点$x_0$处的极限性质极限具有唯一性、有界性、局部有界性、局部保号性、四则运算法则等多元函数极限的定义定义对于多元函数$fx,y,z,...$，若在点$x_0,y_0,z_0,...$的某一去心邻域内，当各变量分别无限趋近于相应的值时，函数值$fx,y,z,...$无限趋近于某一常数$A$，则称$A$为函数$fx,y,z,...$在点$x_0,y_0,z_0,...$处的极限性质与一元函数极限的性质类似，但需要考虑多个变量的变化情况多元函数极限的性质性质1极限的唯一性对于任意点$x_0,y_0,z_0,...$处的极限，其值是唯一的性质2局部有界性在点$x_0,y_0,z_0,...$的某一邻域内，多元函数是有限的性质3局部保号性在点$x_0,y_0,z_0,...$的某一邻域内，若函数值无限趋近于正数或负数，则该函数在此邻域内与该常数同号性质4四则运算法则与一元函数类似，极限的四则运算法则也适用于多元函数03多元函数的连续性一元函数连续性的定义与性质定义如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续性质连续函数具有局部有界性、局部保号性、可积性等性质多元函数连续性的定义定义如果对于任何接近于某点的x值，函数在该点的极限值都等于函数值，则函数在该点连续性质连续函数具有局部有界性、局部保号性、可积性等性质多元函数连续性的性质局部保号性如果函数在某点的极限值大于0，则存在一个正数δ，局部有界性使得当所有自变量满足|x-x0|δ时，fx0对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当所有自变量满足|x-x0|δ时，|fx-fx0|ε可积性如果函数在闭区间[a,b]上连续，则该函数在[a,b]上可积04多元函数的可微性一元函数可微性的定义与性质要点一要点二一元函数可微性的定义一元函数可微性的性质如果函数在某点的导数存在，则该函数在该点可微可微函数在其定义域内的任意点都存在导数，且导数具有连续性多元函数可微性的定义多元函数可微性的定义如果函数在某点的偏导数都存在，则该函数在该点可微偏导数的定义对于多元函数，在某点的某个自变量变化时，其他自变量保持不变，得到的导数称为偏导数多元函数可微性的性质可微函数的偏导数连续可微函数的偏导数存在如果一个多元函数在某点可微，那么它的偏导数在该点如果一个多元函数在某点可微，那么它的偏导数在该点连续都存在THANKS。