大学高等数学第五版上课件D25微分

大学高等数学第五版上课件D25-微分REPORTING目录•微分的定义与性质•微分法则•微分在近似计算中的应用•微分在几何学中的应用•微分在经济学中的应用PART01微分的定义与性质REPORTING微分的定义010203微分定义为函数在某一点的变化微分是函数值的增量与自变量增微分可以看作是函数在某一点附率，即函数在这一点附近的小增量的线性关系，即函数在某一点近的小斜率，即函数在该点的切量与自变量增量的比值在增量趋的变化可以近似地表示为该点的线的斜率于0时的极限导数与自变量增量的乘积微分的性质线性性质对于函数的和、差、积、商，其微分具有线性性质，即函数的和、差、积、商的微分等于各个函数微分之和、差、积、商常数倍性质常数倍函数的微分为该常数与原函数微分的乘积幂函数的微分幂函数的微分结果为幂函数的导数乘以自变量，再乘以幂函数的指数微分与导数的关系导数是函数在某一点的切线的斜率，而微分是函数在该点附近的小斜率，因此导数是微分的极限形式对于可微函数，其导数在某点的值等于该点的微分系数，即函数在该点的切线斜率导数和微分都是描述函数局部变化特性的工具，导数描述的是函数在一点的变化率，而微分描述的是函数在一点附近的变化率PART02微分法则REPORTING线性法则线性法则如果函数u和v是可微的，那么它们的和、差、数乘的微分等于它们微分的和、差、数乘即，du±v=du±dv，dku=kudv应用在计算复杂函数的微分时，可以将函数拆分成简单的部分，利用线性法则分别求出各部分的微分，再根据需要组合起来乘积法则乘积法则如果两个函数的乘积是可微的，那么它们的微分的乘积等于乘积的微分即，duv=u dv+v du应用在计算乘积函数的导数时，可以利用乘积法则将导数拆分成两部分，分别对每一部分进行求导，再根据需要组合起来商的微分法则商的微分法则如果两个函数的商是可微的，那么商的微分等于被除数的微分除以除数减去除数的微分乘以被除数即，du/v=du/v-u dv/v²应用在计算商函数的导数时，可以利用商的微分法则将导数拆分成两部分，分别对每一部分进行求导，再根据需要组合起来复合函数的微分法则复合函数的微分法则如果一个复合函数是可微的，那么它的微分等于复合函数的导数乘以自变量的微分即，dfgx=fgx*gx dx应用在计算复合函数的导数时，可以利用复合函数的微分法则将导数拆分成两部分，分别对每一部分进行求导，再根据需要组合起来PART03微分在近似计算中的应用REPORTING一阶导数在近似计算中的应用一阶导数泰勒展开式一阶导数可以用于判断函数在某点的增泰勒展开式是一阶导数在近似计算中的重减性，从而确定函数值在该点的近似值要应用之一它将一个复杂的函数表示为例如，当函数在某点的一阶导数为正时，VS多项式的和，其中多项式的系数由函数的函数在该点附近的值会增大，反之则会一阶导数确定通过泰勒展开式，可以近减小因此，可以利用一阶导数来确定似计算函数的值，并得到高精度的结果函数值的近似值二阶导数在近似计算中的应用二阶导数牛顿法二阶导数可以用于判断函数在某点的凹凸性，牛顿法是一种利用二阶导数进行近似计算的从而确定函数值在该点的近似值例如，当数值方法它通过迭代的方式逐步逼近函数函数在某点的二阶导数为负时，函数在该点的根或极值点，每次迭代都利用二阶导数来附近的值会先减小后增大，反之则会先增大计算下一个迭代点的位置牛顿法的收敛速后减小因此，可以利用二阶导数来确定函度较快，因此在求解方程和优化问题中广泛数值的近似值应用高阶导数在近似计算中的应用高阶导数多项式插值高阶导数可以用于更精确地描述函数的性质，多项式插值是一种利用高阶导数进行近似计从而在近似计算中提供更高的精度例如，算的方法它通过构造一个多项式来逼近给高阶导数可以用于确定函数的拐点、极值点定的函数，并利用高阶导数来确定多项式的和渐近线等重要特征因此，在某些情况下，系数多项式插值在数值分析和工程计算中利用高阶导数进行近似计算可以得到更准确广泛应用，可以用于数据拟合、函数逼近和的结果数值积分等领域PART04微分在几何学中的应用REPORTING切线斜率与曲线在某点的法线斜率要点一要点二切线斜率法线斜率微分可以用来求曲线在某一点的切线斜率，即该点处曲线法线是与切线垂直的线，微分同样可以用来求曲线在某一切线的斜率点的法线斜率曲线的切线与法线方程的求解切线方程通过微分得到切线斜率，结合点斜式方程，可以求解曲线的切线方程法线方程利用切线斜率和法线斜率的乘积为-1的性质，结合点斜式方程，可以求解曲线的法线方程曲线的局部变化率与曲率局部变化率曲率微分可以用来描述曲线在某一点的局部变化率，即该点曲率是描述曲线弯曲程度的量，通过微分可以计算出曲附近曲线形状的变化快慢线的曲率，进而分析曲线的弯曲程度和变化趋势PART05微分在经济学中的应用REPORTING导数在边际分析中的应用边际成本边际收益在经济学中，边际成本是指企业在生产过程中增加一边际收益是指企业在销售过程中增加一个单位销售量个单位产量所需要增加的成本通过计算边际成本，所获得的收益通过计算边际收益，企业可以了解销企业可以了解生产过程中的成本变化情况，从而做出售过程中的收益变化情况，从而制定更有效的销售策更合理的决策略导数在弹性分析中的应用需求弹性供给弹性需求弹性是指商品需求量对价格变动反应的敏感程度供给弹性是指商品供给量对价格变动反应的敏感程度通过计算需求弹性，企业可以了解市场需求对价格变通过计算供给弹性，企业可以了解市场供给对价格变动动的反应，从而制定更有效的定价策略的反应，从而制定更有效的生产策略导数在最优问题求解中的应用最优产量在经济学中，最优产量是指企业在生产过程中实现利润最大化的产量通过求导数并令其为零，可以求解出最优产量，从而帮助企业实现利润最大化最优价格最优价格是指企业在销售过程中实现利润最大化的价格通过求导数并令其为零，可以求解出最优价格，从而帮助企业实现利润最大化THANKS感谢观看REPORTING。