《高等数学极限》课件

《高等数学极限》课件ppt•极限的定义与性质•极限的求解方法•导数与连续性CATALOGUE•积分与微分目录•无穷级数与无穷积分01极限的定义与性质极限的定义极限的描述性定义当自变量趋近某一特定值时，函数值无限接近于某一常数，称该常数为函数的极限极限的精确定义对于任意小的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，当$0|x-x_0|delta$时，有$|fx-A|epsilon$极限的性质唯一性01若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯一的有界性02若函数在某点的极限存在，则该点的函数值是有界的局部保号性03若函数在某点的极限大于0，则该点的函数值也大于0；反之亦然极限的运算性质极限的四则运算性质对于两个函数的极限，有$limfx pmgx=lim fxpmlim gx$，$limfx timesgx=lim fxtimeslim gx$极限与常数相乘性质对于任意常数$k$，有$limk timesfx=k timeslimfx$极限与无穷小相乘性质对于任意无穷小量$alphax$，有$limalphax timesfx=alphax timeslim fx$02极限的求解方法极限的四则运算法则极限的四则运算法则是求解极限问题的基础，包括加法、减法、乘法和除法法则这些法则可以帮助我们简化复杂的极限表达式，将问题分解为更简单的部分在应用四则运算法则时，需要注意一些特殊情况，如无穷小量的运算性质和等价无穷小量的替换这些特殊情况可能会影响最终的极限结果极限的夹逼准则夹逼准则是求解极限问题的重要方法之一，其基本思想是通过两个不等式之间的共同界值来求解极限当两个不等式之间的界值在某一点上收敛到同一个值时，该值即为所求的极限在应用夹逼准则时，需要找到合适的上下界函数，并确保它们在某一点上收敛到同一个值此外，还需要注意一些特殊情况，如当界值函数在某一点上无定义或无穷大时，夹逼准则可能不适用极限的单调有界准则单调有界准则是求解极限问题的另一种重要方法，其基本思想是通过对数列或函数的单调性和有界性来求解极限如果一个数列或函数在某一点上有界且单调，那么该数列或函数的极限存在且等于该点上的值在应用单调有界准则时，需要证明数列或函数的有界性和单调性此外，还需要注意一些特殊情况，如当数列或函数在某一点上无定义或无穷大时，单调有界准则可能不适用03导数与连续性导数的定义与性质导数的定义导数是函数在某一点的变化率的极限，表示函数在该点的切线斜率导数的性质导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质，这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的几何特性等方面具有重要应用导数的计算方法基本初等函数的导数对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数等基本初等函数，需要熟记其导数公式复合函数的导数复合函数的导数可以通过链式法则进行计算，即先求内函数的导数，再求外函数的导数，最后相乘隐函数的导数对于由方程确定的隐函数，可以通过对方程两边求导来求得其导数函数的连续性连续性的定义如果函数在某一点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续连续性的性质连续函数具有局部有界性、局部保号性和介值定理等性质，这些性质在研究函数的图像和单调性等方面具有重要应用04积分与微分定积分的定义与性质要点一要点二定积分的定义定积分的性质定积分是积分的一种，是函数在闭区间上与其上方的面积定积分具有线性性质、区间可加性、常数倍性质、和差性的代数和质等定积分的计算方法直接法利用定积分的定义，通过求和、取极限等步骤计算定积分微元法通过微元法，将定积分转化为二重积分，再利用二重积分的计算方法进行计算换元法通过换元法，将复杂的积分区间转化为简单的区间，再利用定积分的计算方法进行计算定积分的应用几何应用物理应用定积分可以用于计算平面图形的面积、体积等定积分可以用于计算物理量如质量、质心、引力等经济应用定积分可以用于计算经济量如成本、收益、利润等05无穷级数与无穷积分无穷级数的定义与性质总结词详细描述无穷级数是数学中一个重要的概念，它是由无穷级数是由无穷多个数按照一定的顺序排无穷多个数按照一定的顺序排列而成的数列列而成的数列，这些数可以是正数、负数或无穷级数具有一些重要的性质，如收敛性、零无穷级数在数学中有着广泛的应用，如可加性、可乘性和可微性等求和、求积、求解微积分等无穷级数具有一些重要的性质，如收敛性、可加性、可乘性和可微性等其中，收敛性是无穷级数最重要的性质之一，它表示无穷级数的和是有限的无穷积分的定义与性质总结词详细描述无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定定积分的和组成的积分无穷积分具有一些重要的性质，积分可以是积分限不同的积分无穷积分在数学中也有如可加性、可乘性和可微性等着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等无穷积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性等其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行运算和求导无穷级数与无穷积分的收敛性总结词详细描述收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它表示无穷级数或无穷积分的和是有限的收敛性的判表示无穷级数或无穷积分的和是有限的如果一个无定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的，方法和技巧否则就是发散的收敛性的判定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等对于不同的级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性的判定THANK YOU。