《高等数学》同济六版教学课件第1章.函数与极限

《高等数学》同济六版教学课件★第1章函数与极限•函数目录•极限CONTENTS•导数•连续性01CHAPTER函数函数的定义与性质总结词理解函数的基本定义和性质是学习高等数学的基础详细描述函数是数学中描述两个数集之间关系的一种方法，它具有单值性、对应性和有界性等基本性质理解这些性质有助于更好地理解函数的定义和分类函数的表示方法总结词掌握函数的表示方法是学习高等数学的重要环节详细描述函数的表示方法有多种，如解析法、表格法和图象法这些方法各有优缺点，掌握它们有助于更好地理解和应用函数函数的运算性质总结词理解函数的运算性质是学习高等数学的关键详细描述函数的运算性质包括加法、减法、乘法、除法等运算的封闭性、结合律、交换律等性质理解这些性质有助于更好地掌握函数的运算方法和技巧02CHAPTER极限数列的极限定义01对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$nN$时，有$|a_n-L|varepsilon$，则称数列${a_n}$收敛于$L$，记作$lim_{n toinfty}a_n=L$性质02收敛数列的有界性、唯一性、稳定性计算方法03直接代入法、四则运算法、夹逼准则、单调有界定理等函数的极限定义性质计算方法设函数$fx$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$0|x-x_0|函数极限的唯一性、局部有界性、直接代入法、四则运算法、夹逼delta$时，有$|fx-A|局部保号性准则、单调有界定理等varepsilon$，则称函数$fx$在点$x_0$收敛于$A$，记作$lim_{x tox_0}fx=A$无穷小量与无穷大量无穷小量关系无穷小量是无穷大量的一种特殊形式；在自变量趋于某点或无穷大的过程中，在同一过程中，等价无穷小量之间可函数值趋于零的量以相互转化；无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量无穷大量在自变量趋于某点或无穷大的过程中，函数值趋于无穷大的量03CHAPTER导数导数的定义与性质导数的定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，即函数值随自变量变化的速率导数的性质导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质，这些性质在导数的计算和应用中具有重要作用导数的计算基本初等函数的导数复合函数的导数对于常数、幂函数、指数函数、三角函复合函数的导数可以通过链式法则进行计数等基本初等函数，需要熟记其导数公算，即先求内层函数的导数，再乘以外层式VS函数的导数高阶导数高阶导数的定义高阶导数的应用高阶导数描述了函数值随自变量变化的更高高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的阶的速率，即函数在某一点处的切线更高次弯曲性质等方面具有重要应用的斜率04CHAPTER连续性函数在一点的连续性定义如果当x趋近于a时，函数fx的极限存在且1等于fa，则称函数f在点a连续性质如果函数在某一点连续，则该点的极限值等于函2数值举例考虑函数fx=x^2在点x=2的连续性，有3f2=4，且当x趋近于2时，fx的极限为4，因此函数在点2连续函数的连续性定义如果函数在区间内的每一点都连续，则称函数在该区间内连续性质如果函数在区间内连续，则该区间内的极限值等于函数值举例考虑函数fx=x^3在区间[0,2]的连续性，由于在区间内的每一点上，函数都满足连续性的定义，因此函数在区间[0,2]内连续闭区间上连续函数的性质最值定理闭区间上的连续函数一定可以取得其定义域内的最有界性大值和最小值闭区间上的连续函数是有界的，即存在一个正数M，使得对于所有x在区间内，有中值定理|fx|≤M如果一个闭区间上的连续函数在两点的值分别为M和m Mm，则存在至少一个点c在区间内，使得fc=M-mTHANKS谢谢。