《线性代数与空间解析几何》课件

《线性代数与空间解析几何》课件•线性代数基础contents•空间解析几何•线性变换与矩阵目录•二次型与二次曲面•线性空间与线性变换的进一步讨论01线性代数基础线性方程组线性方程组是线性代数中的基本概念，它描述了一组变量之间的关系线性方程组是由等式和变量组成，等式中的变量通过线性运算符（加、减、乘）和常数进行关联解线性方程组就是找到满足所有等式的未知数值向量与矩阵向量和矩阵是线性代数中的重要概念，它们是用来描述线性变换和线性方程组的数学工具向量是有方向的线段，可以用来表示空间中的点或方向矩阵是一个矩形阵列，由数值组成，可以用来表示向量之间的关系或线性变换特征值与特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们描述了矩阵对向量作用的特点特征值是矩阵的一个数值，当它乘以一个非零向量时，结果仍然是该向量（除了标量倍数）特征向量是对应于特征值的非零向量，它可以用来描述矩阵对向量作用的特点行列式与矩阵的逆行列式和矩阵的逆是线性代数中用于行列式是一个数值，用于描述方阵的描述矩阵和向量关系的数值和代数工某些性质矩阵的逆是一个特殊的矩具阵，与原矩阵相乘得到单位矩阵行列式和矩阵的逆在解决线性方程组、VS计算矩阵的秩和进行矩阵分解等方面有重要应用02空间解析几何空间直角坐标系定义坐标表示空间直角坐标系是三维实数空间按照点P在空间直角坐标系中的位置由其某种规则构成的坐标系统，其中每个三个坐标x,y,z唯一确定点P由三个实数坐标x,y,z唯一确定构成空间直角坐标系由一个原点O和三条互相垂直的数轴构成，其中x轴、y轴和z轴分别对应于右手法则的三个方向向量在空间中的运算向量的数乘数乘是指用一个实数k乘以一个向向量的加法量v，结果仍为一个向量，其模为k乘以v的模，方向与v相同或相反根据平行四边形法则，向量的加法可以通过连接起点和终点的平行四边形的对角线来实现向量的减法向量的减法可以通过加法来实现，即v-w=v+-w向量的模与向量的数量积向量的模向量的模是指从原点到该向量的距离，记作|v|，计算公式为$sqrt{x^2+y^2+z^2}$向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的点乘，记作v·w，结果为一个标量，计算公式为$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$向量的向量积与向量的混合积向量的向量积向量的向量积是指两个向量之间的叉乘，记作v×w，结果为一个向量，其模的计算公式为$|v×w|=|v||w|sinθ$，方向垂直于v和w所确定的平面向量的混合积向量的混合积是指三个向量之间的混合积，记作v,w,u，结果为一个标量，计算公式为$v_1w_2u_3+v_2w_3u_1+v_3w_1u_2-v_1w_3u_2-v_2w_1u_3-v_3w_2u_1$03线性变换与矩阵线性变换的定义与性质要点一要点二线性变换的定义线性变换的性质线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法的映线性变换保持向量的加法、标量乘法和数乘运算不变，并射且满足分配律线性变换的矩阵表示矩阵的定义矩阵的表示方法矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示线性变换的操通过给定向量作为列向量构成的矩阵来表示线性变换作矩阵的相似与合同矩阵的相似矩阵的合同如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，则称如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^TAP=B$，则称矩矩阵A与B相似阵A与B合同矩阵的特征值与特征向量特征值的定义特征向量的性质特征值是满足$Ax=lambda x$的非零实数特征向量是线性变换下的不变量，即满足$lambda$，其中x是相应的特征向量$Ax=lambda x$的向量x04二次型与二次曲面二次型及其标准形式总结词二次型的标准形式了解二次型及其标准形式的概通过线性变换，将二次型转化念和性质，掌握二次型标准形为标准形式，即所有项都包含式的转化方法平方项，且同类项合并二次型的基本概念转化方法二次型是线性代数中的一种基利用线性变换矩阵，通过一系本形式，由一个或多个变量的列的线性变换将原二次型转化二次多项式组成为标准形式二次曲面的定义与性质总结词理解二次曲面的定义，掌握二次曲面的基本性质和分类二次曲面的定义二次曲面是由形如$Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Eyz+2Fxz+G=0$的方程定义的曲面二次曲面的性质二次曲面具有对称性、封闭性、光滑性等基本性质，根据系数矩阵的奇异性可以分为椭圆型、双曲线型和抛物线型三种类型二次曲面的一般方程总结词01掌握二次曲面的一般方程，了解其形式和特点二次曲面的一般方程02二次曲面的一般方程可以表示为$Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Eyz+2Fxz+G=0$，其中$A,B,C,D,E,F,G$是常数一般方程的特点03一般方程具有高度的概括性和抽象性，可以涵盖各种具体的二次曲面形式二次曲面的分类与性质总结词二次曲面的分类了解二次曲面的分类方法，掌握各类二次曲面根据系数矩阵的奇异性，二次曲面可以分为椭的性质和特点圆型、双曲线型和抛物线型三种类型各类二次曲面的性质和特点不同类型的二次曲面具有不同的性质和特点，如封闭性、对称性、光滑性等05线性空间与线性变换的进一步讨论线性空间的定义与性质线性空间的定义线性空间的性质线性空间是一个由向量构成的集合，满足加线性空间具有基底唯一性、维数有限性、加法和数乘封闭性、加法和数乘的结合律、加法的可交换性和可结合性、数乘的分配律等法和数乘的交换律以及数乘单位元存在性性质线性子空间与线性变换的分解线性子空间的定义线性变换的分解线性子空间是线性空间的一个非空子集，它满足加法一个线性变换可以分解为若干个线性变换的组合，这些和数乘封闭性线性变换可以是可逆的或不可逆的线性变换的连续性与可微性线性变换的连续性如果一个线性变换在某一点处的极限存在，则该线性变换在该点处连续线性变换的可微性如果一个线性变换在某一点处的导数存在，则该线性变换在该点处可微线性变换的谱定理谱定理对于一个给定的线性变换，存在一组正交基，使得在该基下，该线性变换的矩阵表示为对角矩阵谱定理的应用谱定理在许多领域都有应用，如量子力学、信号处理和控制系统等THANKS感谢观看。