《计数原理》课件

《计数原理》课件PPT•计数原理简介•分类计数原理•分步计数原理CATALOGUE•排列与组合目录•计数原理的练习题与解析01计数原理简介计数原理的定义计数原理计数原理是数学中的基本原理之一，用于计算具有特定属性的对象或事件的个数分类计数原理可以分为加法原理和乘法原理加法原理当完成一件事情需要两个或多个独立步骤时，完成这件事情的方法数是各个步骤的方法数的和乘法原理当完成一件事情需要两个或多个步骤，并且每个步骤都有若干种方法时，完成这件事情的方法数是各个步骤的方法数的乘积计数原理的分类分类一根据计数对象的属性进行分类，可以分为排列和组合分类二根据计数对象的顺序进行分类，可以分为有序和无序计数原理的应用场景01020304组合数学概率论计算机科学统计学计数原理是组合数学中的基本在概率论中，计数原理用于计在计算机科学中，计数原理用在统计学中，计数原理用于计概念之一，广泛应用于组合数算事件的概率于计算算法的复杂度、数据结算样本的频数、频率等统计量学中的问题求解构的操作次数等02分类计数原理分类计数原理的定义分类计数原理在计数问题中，若完成一项工作需要分成$n$个步骤，且第$i$步有$m_i$种不同的方法，则完成这项工作的方法数为$m_1times m_2times ldotstimesm_n$解释分类计数原理是计数原理中的基础原理，它强调了完成一项工作需要按照一定的顺序和步骤进行，每个步骤都有不同的方法数，最终的方法数是各个步骤方法数的乘积分类计数原理的实例实例1在一家面包店，制作一个蛋糕需要经过三个步骤，第一步是搅拌面糊，有3种方法；第二步是加馅料，有2种方法；第三步是烘烤，有1种方法那么制作一个蛋糕的方法数是$3times2times1=6$种实例2在一条生产线上，组装一个产品需要经过三个环节，第一个环节有3种组装方式，第二个环节有2种组装方式，第三个环节有1种组装方式那么组装一个产品的方法数是$3times2times1=6$种分类计数原理的注意事项注意事项1注意事项3分类计数原理要求完成一项工作需要分类计数原理可以应用于各种计数问按照一定的顺序和步骤进行，每个步题，如排列、组合、概率等，但需要骤都有不同的方法数，最终的方法数注意具体问题的特点和限制条件是各个步骤方法数的乘积注意事项2在应用分类计数原理时，需要注意各个步骤之间的独立性，即一个步骤的方法数不影响其他步骤的方法数03分步计数原理分步计数原理的定义•分步计数原理完成一件事情，需要分成$n$个步骤，第$1$步有$m_1$种不同的方法，第$2$步有$m_2$种不同的方法，第$3$步有$m_3$种不同的方法，$\ldots$，第$n$步有$m_n$种不同的方法，则完成这件事情共有$N=m_1\times m_2\times\ldots\times m_n$种不同的方法分步计数原理的实例实例一从上海到南京需要经过苏州和常州两个城市，从上海到苏州有3种交通方式，从苏州到常州有2种交通方式，从常州到南京有2种交通方式，那么从上海到南京共有$3times2times2=12$种不同的交通方式实例二一个简单的四则运算题目，如计算$a+bc+d$，需要先分别计算括号内的加法，再将两个加法结果相乘，因此共有$m_1=2$种加法方式（加法或减法）和$m_2=2$种乘法方式（乘法或除法），所以共有$N=2times2=4$种不同的运算方式分步计数原理的注意事项注意事项二分步计数原理中的步骤是顺序的，注意事项一即步骤的顺序不能改变例如，计算$a+bc+d$时，必须先计算分步计数原理中的每一步都有独括号内的加法，再计算乘法立的选择性，即每一步的方法数都是独立的，互不影响注意事项三分步计数原理中的步骤数是确定的，即完成一件事情需要分成几个步骤是确定的，不能多也不能少04排列与组合排列的定义与计算方法排列的定义从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列的计算方法排列数用符号A_{n}^{m}表示，计算公式为A_{n}^{m}=nn-1n-

2...n-m+1组合的定义与计算方法组合的定义从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合的计算方法组合数用符号C_{n}^{m}表示，计算公式为C_{n}^{m}=n!/[m!n-m!]排列与组合的区别与联系排列与组合的区别排列考虑的是元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序排列与组合的联系当m=n时，排列数A_{n}^{n}=n!，组合数C_{n}^{n}=105计数原理的练习题与解析基础练习题题目解析题目解析从5名学生中选3名参加知这是一个典型的组合问题，在4名男生和5名女生中，这是一个典型的排列问题，识竞赛，共有多少种不同通过组合公式任选1人担任班长，有多通过排列公式的选法？$C_{n}^{m}=frac{n!}{m!少种不同的选法？$A_{n}^{m}=n!/n-m!$，n-m!}$，我们可以计算我们可以计算出从9名学出从5名学生中选3名的组生中选1人担任班长的排合数为列数为$C_{5}^{3}=frac{5!}{3!2!}$A_{9}^{1}=9!/9-=10$1!=9$进阶练习题题目解析在5本不同的书中，任选2本送给小明，有多少种不同的这是一个组合问题，通过组合公式送法？$C_{n}^{m}=frac{n!}{m!n-m!}$，我们可以计算出从5本不同的书中任选2本的组合数为$C_{5}^{2}=frac{5!}{2!3!}=10$题目解析在6名学生中任取4人参加竞赛，其中甲被选中的概率为这是一个典型的古典概型问题首先计算基本事件总数多少？$n=C_{6}^{4}=15$，然后计算甲被选中的基本事件数$m=C_{5}^{3}=10$，所以甲被选中的概率为$p=frac{m}{n}=frac{10}{15}=frac{2}{3}$综合练习题题目在3名男生和4名女生中任取3人参加比赛，其中男生2人、女生1人的概率为多少？解析这是一个典型的古典概型问题首先计算基本事件总数$n=C_{7}^{3}=35$，然后计算男生2人、女生1人的基本事件数$m=C_{3}^{2}C_{4}^{1}=18$，所以男生2人、女生1人的概率为$p=frac{m}{n}=frac{18}{35}$THANKS。