上海交大数值分析课件数值分析

上海交大数值分析课件数值分析•数值分析简介目•数值分析的基本概念•数值逼近方法录•数值积分与微分方程求解•迭代法与矩阵计算•数值分析的误差分析CATALOGUE01CATALOGUE数值分析简介数值分析的定义数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科，主要关注数学问题数值解的算法设计和分析它涉及数学、计算机科学等多个领域，旨在为实际问题的数值计算提供高效、稳定和可靠的解决方案数值分析的重要性随着科技的发展和实际问题的复杂化，数值分析1在各个领域的应用越来越广泛，如科学计算、工程、经济、金融等数值分析提供了许多实用的数值计算方法，使得2许多复杂的问题可以通过计算机得到有效的解决数值分析的发展推动了数学与计算机科学的交叉3融合，促进了相关领域的技术进步数值分析的应用领域科学计算数值分析在气象预报、物理模拟、化学反应模拟等领域有广泛应用工程领域包括航空航天、机械设计、土木工程、电子工程等，数值分析用于解决各种复杂的工程问题经济和金融数值分析在股票价格预测、风险评估、投资组合优化等方面有重要应用医学影像处理数值分析在医学影像处理中发挥着关键作用，如图像重建、图像增强和图像分割等02CATALOGUE数值分析的基本概念数值代数基础线性方程组的解法矩阵运算高斯消元法、LU分解、迭代法等矩阵乘法、转置、逆等特征值与特征向量线性最小二乘问题特征值分解、QR算法等正规方程法、QR算法等函数与极限零点定理、介值定理等连续函数的性质极限的唯一性、四则运算性质、夹逼准则等极限的定义与性质函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数的定义与性质连续函数的性质单调性函数在区间上的单调性判断凹凸性函数在区间上的凹凸性判断可导性函数在区间上的可导性判断导数与微分导数的定义与性质微分的定义与性质导数的几何意义、四则运算性质、链式法则等微分的几何意义、线性主部等导数与微分的应用极值问题、曲线的切线方程等03CATALOGUE数值逼近方法泰勒级数与多项式逼近泰勒级数通过将一个函数表示为无穷级数，可以逼近该函数泰勒级数是数值分析中常用的工具，可以用来近似复杂的数学函数多项式逼近利用多项式来逼近一个函数，通过选择合适的多项式，可以获得较高的逼近精度多项式逼近在插值和函数近似等领域有广泛应用插值法线性插值通过已知的两点，利用线性函数进行插值，得到未知点的近似值线性插值方法简单易行，但精度相对较低抛物线插值利用抛物线进行插值，通过已知的三点，构造一个抛物线，并求得未知点的近似值抛物线插值比线性插值精度更高最小二乘法最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和来逼近函数在数值分析中，最小二乘法常用于回归分析和曲线拟合等领域线性最小二乘法线性最小二乘法是最小二乘法的一种特殊形式，适用于线性模型的拟合通过最小化误差的平方和，求解线性方程组，得到最佳拟合直线或平面曲线拟合曲线拟合是指利用已知数据点，通过数学方法构造一条曲线，使得该曲线尽可能地接近数据点曲线拟合广泛应用于数据分析和科学计算等领域多项式曲线拟合多项式曲线拟合是一种常见的曲线拟合方法，通过选择合适的多项式，使得该曲线能够最佳地拟合数据点在实际应用中，通常需要根据数据点的分布和特征选择合适的多项式阶数04CATALOGUE数值积分与微分方程求解数值积分数值积分的基本概念01数值积分是计算定积分的近似值的方法，常用的数值积分方法包括梯形法、辛普森法、高斯法等数值积分的误差02数值积分的结果存在误差，包括截断误差和舍入误差，截断误差是由于方法本身近似性引起的，舍入误差是由于计算机浮点运算的精度限制引起的数值积分的收敛性和稳定性03数值积分方法的收敛性和稳定性是评价其优劣的重要指标，收敛性是指随着步长减小，近似值趋于精确值，稳定性是指在计算过程中数值不发生剧烈波动或发散常微分方程的初值问题常微分方程的基本概念常微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，初值问题是给出函数在某点的初始值，求解该函数在某个区间内的变化规律欧拉方法和龙格库塔方法欧拉方法是常微分方程初值问题的一种简单数值解法，龙格库塔方法是一种更精确的方法，包括经典四阶龙格库塔法和变步长龙格库塔法等数值解法的误差和稳定性常微分方程数值解法的误差和稳定性与具体方法和步长选取有关，需要进行误差分析和稳定性分析偏微分方程的数值解法有限差分法和有限元法有限差分法是将偏微分方程转化为差分方程进行求偏微分方程的基本概念解，有限元法是将偏微分方程转化为变分问题进行求解偏微分方程是描述多变量函数变化的数学模型，在物理、工程等领域有广泛应用数值解法的收敛性和稳定性偏微分方程数值解法的收敛性和稳定性是评价其优劣的重要指标，需要进行误差分析和稳定性分析05CATALOGUE迭代法与矩阵计算迭代法的基本原理010203迭代法定义迭代法的分类迭代法的收敛性迭代法是一种通过不断逼根据迭代过程的形式和收迭代法是否收敛以及收敛近解的方法，通过迭代过敛速度，迭代法可以分为速度的快慢是衡量迭代法程逐步修正近似解，最终线性迭代法和非线性迭代好坏的重要指标得到精确解法雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代雅可比迭代雅可比迭代是一种求解线性方程组的迭代方法，其基本思想是通过逐次逼近的方式求解方程组的解高斯-赛德尔迭代高斯-赛德尔迭代是一种求解线性方程组的迭代方法，其基本思想是将原方程组转化为等价的逐次逼近形式，从而求解方程组的解矩阵的运算与特征值问题矩阵的加法、数乘和乘法矩阵的加法、数乘和乘法是矩阵运算的基本运算，这些运算具有一些基本的性质和定理特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的一个重要概念，它们在矩阵的许多问题中都有广泛的应用特征值问题的求解特征值问题的求解是数值分析中的一个重要问题，有许多数值方法可以用来求解特征值问题，如QR算法、Jacobi方法等06CATALOGUE数值分析的误差分析误差的来源与分类01020304模型误差观测误差舍入误差截断误差由于实际问题过于复杂，无法由于测量设备、环境等因素导由于计算机的有限精度导致的由于数值方法近似求解导致的建立精确的数学模型，导致模致的误差误差误差型误差误差的传播与控制误差传播01一个变量或一组变量的误差会传递到其他变量或计算结果中误差控制02通过选择合适的数值方法和算法，减小误差的影响误差估计03对计算结果的误差进行估计，以便了解结果的精度稳定性分析定义稳定性的分类数值方法的稳定性是指当舍入误差或根据数值方法的稳定性，可以分为条截断误差存在时，数值解的相对变化件稳定和无条件稳定程度影响稳定性的因素稳定性分析的意义算法的阶数、步长、初值等都会影响了解数值方法的稳定性有助于选择合数值方法的稳定性适的算法和参数，提高计算精度和稳定性THANKS感谢观看。