上海海事大学高数课件3函数的极限

上海海事大学高数课件3函数的极限•引言•函数极限的基本性质目录•函数极限存在的条件•函数极限的求解方法•函数极限的应用•总结与展望01引言函数极限的定义函数极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了函数在某一点附近的变化趋势具体来说，如果一个函数在某点的附近趋于一个常数，则称该函数在该点处有极限极限的定义有多种方式，其中一种是“ε-δ”定义，即对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，使得当函数的自变量满足某个条件时，函数的值与极限值的差的绝对值小于ε函数极限的重要性函数极限是数学分析中的核心概念之一，它在微积分、实数理论、级数理论等领域中都有广泛的应用通过研究函数极限的性质和计算方法，可以深入了解函数的性质和变化规律，为解决实际问题提供数学模型和计算方法函数极限的历史背景函数极限的概念可以追溯到古代数学家的研究，如阿基米德、牛顿等人都对极限思想有所涉及19世纪初，法国数学家柯西提出了“ε-δ”极限定义，为极限理论的发展奠定了基础此后，极限理论成为数学分析的重要分支，并广泛应用于各个领域02函数极限的基本性质极限的唯一性总结词极限的唯一性是指，对于任意给定的正数，都存在唯一的函数值与之对应详细描述极限的唯一性是函数极限的基本性质之一它表明，当函数值趋近于某一特定值时，只能有一个函数值与之对应这是因为函数在某一点的极限值是由该点附近的函数值所确定的，而这个值是唯一的极限的保号性总结词极限的保号性是指，当函数值趋近于某一特定值时，函数值的符号保持不变详细描述极限的保号性是函数极限的一个重要性质它表明，如果函数在某一点的左侧和右侧的值都为正或都为负，那么函数在该点的极限值也必定为正或为负这是因为函数在某一点的极限值是由该点附近的函数值所确定的，而这些函数值的符号保持不变极限的四则运算性质总结词极限的四则运算性质是指，对于函数的加、减、乘、除等运算，其极限值可以通过分别求各部分的极限再执行相应的运算来得到详细描述极限的四则运算性质是函数极限的基本性质之一它表明，对于函数的加、减、乘、除等运算，其极限值可以通过分别求各部分的极限再执行相应的运算来得到这个性质对于计算复杂函数的极限非常有用，因为它可以将复杂的函数拆分成简单的部分，分别求得各部分的极限，然后再进行运算，从而简化计算过程03函数极限存在的条件函数极限存在的充分必要条件函数在某点的极限存在当且仅当函数在该点的左右极限存在且相等函数在某点的极限存在当且仅当函数在该点的所有邻域内都有定义，并且函数值在某邻域内收敛于一个确定的数函数极限存在的必要条件01如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的左右极限必须存在02如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的所有邻域内都有定义函数极限存在的充分条件如果函数在某点的左右极限存在且相等，那么函数在该点的极限存在如果函数在某点的所有邻域内都有定义，并且函数值在某邻域内收敛于一个确定的数，那么函数在该点的极限存在04函数极限的求解方法直接代入法总结词直接代入法适用于函数在某点的极限值可以直接通过代入得到的情况详细描述当函数在某点的极限值可以直接通过将该点的x值代入函数表达式得到时，我们就可以使用直接代入法求解这种方法适用于一些简单的函数，如常数函数、线性函数等夹逼法总结词夹逼法是通过比较函数在不同区间的取值大小，从而确定函数极限的方法详细描述当函数在某点的极限可以通过比较函数在不同区间上的取值大小来确定时，我们就可以使用夹逼法求解这种方法的关键在于找到合适的上下界函数，使得原函数在区间端点处的取值被上下界函数所夹逼洛必达法则总结词详细描述洛必达法则是求解未定式极限的重要方当函数在某点的极限为未定式时，我们可法之一，通过求导数来求解极限以使用洛必达法则来求解洛必达法则是VS基于导数的性质，通过求导数并观察极限的变化规律来确定原函数的极限值在使用洛必达法则时，需要注意一些限制条件，如导数存在、未定式类型等05函数极限的应用在连续复利中的应用01连续复利公式推导利用函数极限，推导连续复利公式，用于计算在连续复利情况下的未来值02连续复利与离散复利的比较通过比较连续复利和离散复利的极限情况，理解连续复利的实际意义和适用场景在微积分学中的应用导数与极限的关系积分与极限的关联导数可以理解为函数在某一点的切线斜率，积分是计算面积和体积的方法，而极限是积而极限是导数存在的前提条件，通过极限可分的基础，通过极限可以研究积分的性质和以研究函数的单调性、凹凸性等性质计算方法在经济学中的应用边际分析边际分析是经济学中常用的分析方法，通过研究函数在某一点的导数或极限，可以了解经济变量对经济活动的影响程度成本最小化问题在生产过程中，企业需要最小化成本以获得最大利润，通过研究成本函数的极限，可以找到最优的生产规模和资源配置方式06总结与展望本章小结函数极限的定义与性质极限运算的法则掌握了函数极限的基本概念和性质，学会了如何利用极限的四则运算法则包括极限的唯一性、局部有界性、局和复合函数求极限的方法部保号性等重要极限和等价无穷小无穷小与阶的比较理解了重要极限的推导过程，掌握了学会了比较不同阶的无穷小量的大小等价无穷小在求极限中的应用关系，理解了其在求极限中的重要性下章预告导数的定义与性质将学习导数的基本概念、性质和计算方法，理解导数在描述函数变化率方面的作用导数的应用通过学习导数在实际问题中的应用，如求切线、判断函数的单调性等，加深对导数的理解THANKS感谢观看。