上海海事大学高数课件2数列的极限

上海海事大学高数课件2-数列的极限目录•数列极限的定义•极限的性质与运算•单调有界定理与柯西收敛准则•极限的应用•数列的级数01数列极限的定义定义及性质0102极限的定义极限的性质对于数列${a_n}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_n$趋于某个常数极限具有唯一性、传递性、局部有界性、局部保号性等性质$a$，则称数列${a_n}$收敛于$a$收敛与发散收敛的判断根据极限的定义，可以通过观察数列的变化趋势来判断数列是否收敛如果数列趋于一个常数，则数列收敛；否则，数列发散发散的例子例如，数列${-1^n}$是发散的，因为当$n$趋于无穷大时，数列的值在-1和1之间交替，没有趋于一个常数收敛的几何解释几何解释在数轴上，如果一个数列的点随着项数的增加逐渐接近一个点，那么这个数列就是收敛的相反，如果数列的点分散开来，没有趋于一个点，那么这个数列就是发散的几何意义的应用通过几何解释，可以直观地理解收敛和发散的概念，并且可以用于判断一些复杂的数列是否收敛02极限的性质与运算极限的运算法则010203极限的四则运算法则极限存在定理极限的唯一性极限的加法、减法、乘法和除法等基本运如果一个数列的子数列收敛，那么这个数一个数列只能有一个极限，即极限具有唯算法则，用于计算复合函数的极限列也收敛，反之亦然一性无穷小量与无穷大量无穷小量无穷小与无穷大的关系在自变量趋于某点或无穷远时，函数在一定条件下，无穷小和无穷大可以值趋于零的量相互转化无穷大量在自变量趋于某点或无穷远时，函数值趋于无穷大的量极限存在准则夹逼准则柯西准则如果数列中的项被两个收敛如果对于任意给定的正数序列所夹逼，那么这个数列$varepsilon$，存在正整数也收敛，且极限值等于这两$N$，使得对于任意大于个收敛序列的极限值$N$的正整数$n$，都有$|a_n-L|varepsilon$成立，那么这个数列收敛，且单调有界准则极限值等于$L$如果一个单调递增（或递减）的有界数列存在上（或下）确界，那么这个数列收敛，且极限值等于上（或下）确界03单调有界定理与柯西收敛准则单调有界定理总结词单调有界定理是数列极限的重要定理之一，它指出如果一个数列是单调增加或单调减少的，并且存在上界或下界，则该数列收敛详细描述单调有界定理表述为，如果一个数列{an}单调增加且有上界，或者单调减少且有下界，则数列{an}收敛这个定理的证明涉及到实数的完备性，即实数具有完备性，任何有上界的递增数列和有下界的递减数列都收敛柯西收敛准则总结词详细描述柯西收敛准则是判断数列收敛的充要条柯西收敛准则表述为，如果对任意的正数件，它指出如果对任意给定的正数ε，存ε，存在一个正整数N，使得当nN时，在一个正整数N，使得当nN时，对于VS对于所有的正整数p，都有|an+p-an|ε，所有的正整数p，都有|an+p-an|ε，则则数列{an}收敛这个准则的重要性在于数列{an}收敛它给出了判断数列收敛的充要条件，即只要满足柯西收敛准则的条件，数列就一定收敛闭区间上连续函数的性质总结词详细描述闭区间上连续函数的性质是数学分析中重要闭区间上连续函数的性质包括函数的最大值的基本概念之一，它包括函数的最大值、最和最小值定理，即在一个闭区间[a,b]上的连小值、介值定理等续函数一定存在最大值和最小值此外，介值定理也属于连续函数的性质之一，它指出在闭区间[a,b]上的连续函数fx，如果对任意x1,x2∈[a,b]，只要x1x2就有fx1≤fx2，那么对于任何介于fa和fb之间的值c，至少存在一个点ξ∈[a,b]，使得fξ=c这些性质在数学分析和实数理论中有着广泛的应用04极限的应用利用极限求函数值总结词通过求函数的极限，可以得到函数在某些点处的近似值或精确值详细描述在某些情况下，函数在某点的值可能无法直接计算，但可以通过求极限的方式得到该点的近似值或精确值例如，计算圆周率π的近似值时，可以利用圆的周长与直径之比来求极限利用极限求参数的值要点一要点二总结词详细描述通过求参数的极限，可以确定参数的取值范围或求解某些在求解某些数学问题时，可能需要确定参数的取值范围或方程求解方程通过求参数的极限，可以找到参数的取值范围或求解方程例如，求解函数的最值问题时，可以利用求导数后得到的极值条件来求参数的极限利用极限证明不等式总结词通过求极限来证明不等式，可以证明不等式的正确性或推导不等式的性质详细描述在证明不等式时，可以利用求极限的方法来证明不等式的正确性或推导不等式的性质例如，利用极限的性质可以证明一些重要的不等式，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等05数列的级数正项级数010203正项级数定义正项级数的性质常见的正项级数正项级数是一种特殊的无穷级正项级数具有一些特殊的性质，常见的正项级数包括几何级数、数，其各项均为正数如当级数收敛时，其和一定大调和级数等于或等于任何给定的正数交错级数与绝对收敛交错级数定义交错级数是正负交替出现的无穷级数交错级数的性质交错级数的各项绝对值单调递减且趋于0，则该级数收敛绝对收敛如果一个交错级数的各项绝对值之和收敛，则该级数称为绝对收敛幂级数与泰勒级数幂级数定义幂级数是形如$a_0+a_1x+a_2x^2+ldots$的无穷级数，其中$a_0,a_1,a_2,ldots$是常数泰勒级数泰勒级数是幂级数的特例，它具有特定的形式，常用于近似计算函数的值幂级数的应用幂级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如求解微分方程、近似计算等THANKS。