人大微积分课件10-2对坐标的曲线积分

人大微积分课件10-2对坐标的曲线积分•曲线积分概述•对坐标的曲线积分•格林公式•曲线积分与路径无关的条件01曲线积分概述定义与性质定义曲线积分是定积分在曲线上的应用，用于计算曲线下的面积性质曲线积分具有线性性质、可加性、积分区间的可加性和对称性等曲线积分的应用计算曲线下的面积通过曲线积分可以计算曲线下的面积，从而解决实际问题物理应用曲线积分在物理中有广泛应用，如电场强度、磁场强度、线密度等曲线积分的计算方法010203参数方程法直角坐标法极坐标法通过参数方程将曲线转化利用直角坐标系中的x和y利用极坐标系中的r和θ坐为直线，再利用定积分进坐标，将曲线转化为直线，标，将曲线转化为直线，行计算再利用定积分进行计算再利用定积分进行计算02对坐标的曲线积分定义与性质定义对坐标的曲线积分是计算曲线段上某种物理量（如力、功等）的一种方法，通过将曲线段分割成若干小段，并在每一段上应用物理公式进行计算，最后求和得到整个曲线段上的物理量性质对坐标的曲线积分满足线性性质、可加性、对称性以及格林公式等性质，这些性质在计算曲线积分时具有重要的作用计算方法与公式计算方法对坐标的曲线积分的计算通常采用参数方程或直角坐标方程进行，首先将曲线方程转化为参数方程或直角坐标方程，然后根据具体物理量的定义和性质，利用微积分的基本公式和技巧进行计算公式对于不同的物理量，对坐标的曲线积分的计算公式也有所不同，例如，对于线密度函数，其积分公式为∫ρx,ydx+ρx,ydy，其中ρx,y为线密度函数；对于向量场函数，其积分公式为∫F·ds，其中F为向量场函数，·表示点乘运算，ds表示曲线段的弧长微元实例解析实例1求曲线y=x^2与直线y=1围成的区域上曲线y=x^2与直线y=1之间的线段上的力F=2xyds，其中y为参数通过将曲线y=x^2转化为参数方程x=t,y=t^2，并利用向量场函数的积分公式进行计算，得到结果为∫2tdtds=∫2t^2dt=t^3|0,1=1实例2求曲线y=sinx与直线y=x围成的区域上曲线y=sinx与直线y=x之间的线段上的功W=xyds，其中y为参数通过将曲线y=sinx转化为参数方程x=t,y=sint，并利用向量场函数的积分公式进行计算，得到结果为∫sintdt=-cost|0,π/2=103格林公式格林公式的内容格林公式的内容是对于平面区域D上的连续函数fx,y和gx,y，有∫L[fx,ydx+gx,ydy]=∫∫D[d/dy fx,y-d/dx gx,y]dxdy，其中L是区域D的边界曲线格林公式反映了曲线积分和二重积分之间的内在联系，是计算曲线积分的重要工具格林公式的应用求解曲线积分通过将曲线积分转化为二重积分，可以利用二重积分的计算方法来求解曲线积分判断积分与路径是否相关如果函数fx,y和gx,y在区域D上存在连续的一阶偏导数，则曲线积分与路径无关计算封闭曲线的积分对于封闭曲线的曲线积分，可以通过格林公式将其转化为二重积分进行计算实例解析实例1求∫x^2+y^2dx+xydy，其中L为圆x^2+y^2=1的上半圆周实例2求∫3x-ydx+x^2+2ydy，其中L为椭圆x^2/4+y^2=1的右半部分边界04曲线积分与路径无关的条件条件与性质条件对坐标的曲线积分与路径无关的条件是，被积函数在积分区间内是标量场，且该标量场可导性质如果曲线积分与路径无关，则其值等于某一固定点在垂直于该路径的平面上的投影点的函数值与积分路线的长度乘积实例解析实例1实例2考虑函数$fx,y=y^2$在区域D上的曲考虑函数$fx,y=x^2+y^2$在区域D线积分$int_{L}y^2ds$，其中L是区域D上的曲线积分$int_{L}x^2+y^2ds$，内任意一条简单闭曲线由于$fx,y=VS其中L是区域D内任意一条简单闭曲线y^2$是标量场且可导，因此该曲线积分由于$fx,y=x^2+y^2$不是标量场，与路径无关因此该曲线积分与路径有关应用场景与实例解析应用场景101在物理学中，当研究电场和磁场时，常常需要计算曲线积分来求解电势和磁感应强度如果被积函数是标量场且可导，则可以利用曲线积分与路径无关的性质来简化计算应用场景202在几何学中，当研究平面图形的面积时，可以利用曲线积分来计算面积如果被积函数是标量场且可导，则可以利用曲线积分与路径无关的性质来简化计算应用场景303在经济学中，当研究成本、收益和利润时，可以利用曲线积分来计算边际成本和边际收益如果被积函数是标量场且可导，则可以利用曲线积分与路径无关的性质来简化计算THANKS感谢观看。