人大微积分课件7-3数量积向量积混合积

人大微积分课件7-3数量积向量积混合积•数量积•向量积•混合积CATALOGUE•向量积与混合积的应用目录•习题与答案01CATALOGUE数量积定义数学公式表示为a·b=∣a∣∣b∣cosθ数量积定义为两个向量的模与它们夹角的余弦值的乘积，⁡记作a·b，其中a和b为向量，θ为向量a和b的夹角数学公式表示为∣a·b∣=∣∣a∣∣b∣cosθ⁡几何意义数量积表示两个向量的长度和它们之间的夹角的余弦值的乘积，可以理解为两个向量在方向上的相似程度当两个向量的夹角为锐角时，数量积为正，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积为负，表示两个向量方向相反；当夹角为直角时，数量积为零，表示两个向量垂直计算公式对于任意两个向量a和b，其数量积的计算公式为a·b=x1x2+y1y2+z1z2mathbf{a}cdot mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2a⋅b=x1​x2​+y1​y2​+z1​z2​其中x1,x2,y1,y2,z1,z2mathbf{x}_1,mathbf{x}_2,mathbf{y}_1,mathbf{y}_2,mathbf{z}_1,mathbf{z}_2x1​,x2​,y1​,y2​,z1​,z2​分别是向量a和b的分量02CATALOGUE向量积定义总结词向量积是由两个向量通过点乘运算得到的向量详细描述向量积定义为向量A和向量B的点乘，记作A×B，其大小等于|A||B|sinθ，其中θ为向量A和向量B之间的夹角同时，向量积的方向垂直于向量A和向量B所在的平面，其指向按照右手定则确定几何意义总结词向量积表示两个向量围成的平行四边形的面积详细描述向量积的大小等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积具体来说，如果两个向量A和B围成一个平行四边形，则该平行四边形的面积等于|A×B|计算公式要点一要点二总结词详细描述向量积的计算公式为A×B=ij×kE1E2E3向量积的计算公式为A×B=ij×kE1E2E3，其中i、j、k分别为x、y、z轴上的单位向量，E

1、E

2、E3分别为A、B在x、y、z轴上的分量具体计算时，先求出两个向量的叉乘矩阵，再根据叉乘矩阵与单位向量的点乘运算得到最终结果03CATALOGUE混合积定义混合积是三个向量的乘积，表示为$mathbf{A}cdot mathbf{B}cdotmathbf{C}$，其中$mathbf{A}$、$mathbf{B}$和$mathbf{C}$是三个三维向量混合积的结果是一个标量，而不是一个向量几何意义01混合积的几何意义是表示三个向量在三维空间中形成的平行六面体的体积02当三个向量共面时，混合积为0；否则，混合积的符号取决于三个向量的相对位置和方向计算公式•计算混合积的公式为$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=|\mathbf{A}|\cdot|\mathbf{B}|\cdot|\mathbf{C}|\cdot\text{sgn}\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$，其中$|\mathbf{A}|$、$|\mathbf{B}|$和$|\mathbf{C}|$分别是三个向量的模长，$\text{sgn}\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$是三个向量的相对位置和方向的符号函数04CATALOGUE向量积与混合积的应用向量场向量场是由一组向量构成的数向量场在物理和工程领域有广向量场可以通过向量图或向量学概念，这些向量在空间中定泛应用，例如磁场、速度场、场图进行可视化，帮助理解向义了方向和大小力场等量在空间中的分布和变化向量微积分基本定理向量微积分基本定理是向量分析该定理表明，对于向量场F，其向量微积分基本定理在解决物理中的重要定理，它建立了向量场曲线积分可以通过对应的标量场问题、优化问题等领域有广泛应中的积分与标量场之间的关系进行计算用向量场中的曲线积分与路径无关的条件在向量场中，如果曲线积分与路径无路径无关的条件通常与向量场的散度关，则意味着积分值不依赖于所选择（divergence）和旋度（curl）有关的路径，只与起点和终点有关当向量场的散度为零时，曲线积分与路径无关的条件在解决物理问题和工路径无关；当向量场的旋度为零时，程问题时非常重要，因为它简化了积线积分与路径无关分的计算过程05CATALOGUE习题与答案习题判断题选择题两个向量的数量积为0，则这两个向量垂已知向量$overset{longrightarrow}{a}$直和$overset{longrightarrow}{b}$，且VS$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}{b}=0$，则下列结论正确的是（）习题•B.$\overset{\longrightarrow}{a}\perp\overset{\longrightarrow}{b}$•C.$\overset{\longrightarrow}{a}$与$\overset{\longrightarrow}{b}$方向相同•D.$\overset{\longrightarrow}{a}$与$\overset{\longrightarrow}{b}$方向相反•计算题已知向量$\overset{\longrightarrow}{a}=1,2,3$，$\overset{\longrightarrow}{b}=2,4,6$，求$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的数量积、向量积和混合积答案判断题错两个向量的数量积为0，表示这两个向量垂1直，但并不意味着这两个向量一定存在选择题B根据数量积的定义，当两向量的数量积为0时，2这两向量垂直数量积$overset{longrightarrow}{a}cdot3overset{longrightarrow}{b}=1times2+2times4+3times6=32$答案向量积$overset{longrightarrow}{a}times overset{longrightarrow}{b}=1times6-2times3,2times3-1times6,3times2-1times4=0,0,0$混合积$|overset{longrightarrow}{a}||overset{longrightarrow}{b}|costheta=32$，其中$theta$为两向量的夹角THANKS感谢观看。