人大微积分课件8-1多元函数的极限及连续性

人大微积分课件8-1多元函数的极限及连续性•多元函数的极限•多元函数的连续性•多元函数的导数与微分CATALOGUE•多元函数的极值与最值目录•多元函数的积分01CATALOGUE多元函数的极限函数极限的定义函数极限的描述性定义当自变量趋近某一值时，函数值趋于某一常数函数极限的精确定义如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$0|x-x_0|delta$时，有$|fx-A|varepsilon$，则称$fx$在$x_0$处有极限$A$函数极限的性质唯一性如果函数在某点的极限存在，则该极限值是唯一的局部有界性局部保号性在函数有界的区间内，其极限值也是有界的在函数符号相同的区间内，其极限值保持原有的符号函数极限的计算方法代数法恒等式法利用代数运算求函数的极限利用恒等式简化函数的表达式，从而求得极限夹逼法利用夹逼定理，通过比较函数在不同区间内的取值范围来求得极限02CATALOGUE多元函数的连续性连续性的定义定义如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$eta$，使得当$||x-x_0||eta$时，有$|fx-fx_0|varepsilon$，则称函数$fx$在点$x_0$处连续解释函数在某一点连续意味着当自变量趋近于这一点的值时，函数的值也趋近于这一点的函数值连续性的性质性质2性质3性质1若函数$fx$在点$x_0$处连若函数$fx$在点$x_0$处连若函数$fx$在区间$[a,b]$上续，则函数$fx$在点$x_0$续，且$fx_0=0$，则存在一连续，则函数$fx$在区间处有定义个正数$delta$，使得当$|x-$[a,b]$上有界x_0|delta$时，有$fx0$连续性的计算方法方法1方法2方法3直接代入法如果函数在某点的左右极限法如果函数在某点的导数法如果函数在某点可导，定义域内，可以直接将该点的值定义域外，可以通过求该点的左可以通过求该点的导数值来计算代入函数表达式进行计算右极限来计算函数的值函数的值03CATALOGUE多元函数的导数与微分导数的定义与性质导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率，是函数值的增量与自变量增量的比值在增量趋于0时的极限导数的性质导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则、链式法则等，这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的切线等问题中有着重要的应用高阶导数与微分高阶导数的定义对于一个可导函数，其高阶导数是指函数的一阶导数的导数，二阶导数的导数等微分的概念微分是函数增量的线性近似，即当函数的自变量在某点附近取得很小的增量时，函数增量可以近似地表示为函数在该点的微分导数的几何意义与物理意义导数的几何意义在二维空间中，导数表示曲线在某一点处的切线斜率；在三维空间中，导数表示曲面在某一点处的切平面法线斜率导数的物理意义在物理问题中，导数常常用来描述物理量随时间或空间的变化率，如速度、加速度、电流强度等04CATALOGUE多元函数的极值与最值极值的定义与性质极值的定义如果函数在某点的附近取得的值都小于或大于该点的函数值，则称该点为函数的极小值点或极大值点极值的性质极值是局部最优解，即在极值点附近函数值都小于或大于该点的函数值；此外，极值也可能是全局最优解极值的计算方法判断极值点计算极值通过求一阶导数来判断，一阶导数为零在确定了极值点后，将该点的x值代入原的点可能是极值点；此外，还需判断二函数中即可得到极值阶导数的符号，以确定是极大值还是极VS小值最值的定义与性质最值的定义最值的性质函数在某个区间或定义域内的最大值和最小最值是全局最优解，即在定义域内的所有点值都小于或大于该点的函数值；最值的计算需要考虑函数的定义域和边界情况05CATALOGUE多元函数的积分定积分的定义与性质定积分的定义定积分的性质定积分是积分和的极限，即对区间[a,b]上的定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、任意分割T和任意选取的点x_i，fx_i的矩形积分中值定理等性质面积总和的极限定积分的计算方法换元法换元法是计算定积分的一种常用方法，通过改变积微积分基本定理分变量或积分区间，简化积分的计算微积分基本定理是计算定积分的基本方法，它将定积分转化为不定积分的计算分部积分法分部积分法是计算定积分的另一种方法，通过将函数进行分部，将定积分转化为不定积分的计算反常积分与含参变量的积分反常积分的定义与性质反常积分是对无穷区间上的积分的推广，包括无穷区间上的定积分和无穷限的反常积分反常积分具有收敛和发散的性质含参变量的积分含参变量的积分是定积分的另一种形式，其中被积函数或积分区间与某个参数有关含参变量的积分在求解过程中需要对参数进行分类讨论THANKS感谢观看。