华中农业大学《微积分》方红-第三章课件

华中农业大学《微积分》方红-第三章课件•引言•微积分基本概念•导数的应用•导数的几何意义•导数的物理意义•习题与解答01引言课程背景微积分发展简史在教育体系中的地位微积分作为数学的一个重要分支，起微积分是高等数学的基础课程，对于源于17世纪的欧洲，主要用于解决科培养学生的逻辑思维和问题解决能力学、工程和经济领域的问题具有重要意义与现实生活的联系微积分在日常生活中的应用十分广泛，如速度、加速度、曲线面积的计算等课程目标知识目标掌握微积分的基本概念、定理和公式能力目标能够运用微积分知识解决实际问题情感、态度和价值观目标培养学生对微积分的兴趣，认识到数学在科学和技术发展中的重要性02微积分基本概念导数的定义010203导数定义导数几何意义导数物理意义导数是函数在某一点的变导数在几何上表示函数曲导数在物理中可以表示物化率，表示函数在该点附线在某一点的切线的斜率体运动的速度或加速度近的小范围内变化的情况导数的性质单调性奇偶性可导性如果函数在某区间内单调如果函数是奇函数或偶函如果函数在某点可导，则递增或递减，那么其导数数，那么其导数也具有相该点附近的函数值可以用在此区间内非负或非正应的奇偶性导数值和原函数值的线性组合来逼近导数的计算复合函数求导复合函数的导数可以通过链式法则基础运算规则进行计算，即fgx=fgx·gx导数的计算涉及到加、减、乘、除等运算规则，如uv=uv+uv，u/v=uv-uv/v^2等高阶导数对于高阶导数的计算，需要使用归纳法进行推导和计算03导数的应用切线斜率切线斜率定义01切线斜率表示函数在某一点的导数，即函数在该点的变化率切线斜率的计算02通过求导数，可以得到函数在某一点的切线斜率切线斜率与函数图像03切线斜率的大小和正负决定了函数图像在该点的增减性和凹凸性单调性判别单调性定义单调性判别方法单调性与函数图像函数的单调性是指函数在某个区通过求导数，判断导数的正负，函数的单调性与函数图像的上升间内单调递增或单调递减的性质可以判断函数在该区间内是单调或下降趋势有关递增还是单调递减极值问题极值定义函数的极值是指函数在某个点上达到局部最大或局部最小的值极值判别方法通过求导数，判断一阶导数的正负变化，可以判断函数在某点是否存在极值极值与函数图像极值点在函数图像上表现为拐点，即函数值在该点发生改变符号的点04导数的几何意义切线与法线切线切线是与曲线在某一点相切的直线，其斜率等于该点处的导数切线通过曲线上该点的切点，并决定了曲线在该点的变化趋势法线法线是与切线垂直的直线，其斜率的乘积为-1法线与切线共同决定了曲线在该点的变化速率曲线的凹凸性凹函数在曲线上任取两点，连接这两点的线段始终位于曲线下方，则称该曲线为凹函数凸函数在曲线上任取两点，连接这两点的线段始终位于曲线上方，则称该曲线为凸函数曲线的拐点拐点拐点是曲线形状发生变化的点，即曲线在该点的一阶导数和二阶导数都为零，或者二阶导数变号判定方法通过计算曲线的二阶导数，并找出使二阶导数为零的点，这些点可能就是拐点的位置05导数的物理意义速度与加速度速度物体在单位时间内通过的路程速度是描述物体运动快慢的物理量加速度物体速度的变化量与时间的比值加速度是描述物体速度变化快慢的物理量弹性与斜率弹性描述函数值随自变量变化的敏感程度斜率是函数图像上某点的切线与x轴的夹角正切值，反映了函数值随自变量变化的快慢程度斜率与弹性斜率可以用来近似计算函数的弹性，特别是在函数变化率较小的情况下流量与斜率流量单位时间内流过某一截面的流体体积或质量斜率与流量在一定条件下，流体的流速与流量的关系可以由斜率表示斜率越大，流量越大；斜率越小，流量越小06习题与解答习题部分01020304习题1求极限习题2导数的计算习题4不定积分习题3微分的应用答案解析01020304答案解析1答案解析2答案解析3答案解析4对于习题1，首先判断类型，对于习题2，根据导数的定义对于习题3，根据微分的基本对于习题4，根据不定积分的然后根据不同类型的极限求法和性质进行计算，注意复合函公式和导数的几何意义进行计性质和基本积分公式进行计算进行计算数和幂函数的求导法则算。