《函数极限通论》课件

《函数极限通论》ppt课件•函数极限的基本概念contents•函数极限的运算性质•函数极限的应用目录•无穷小量与无穷大量•函数极限的求解方法•函数极限的深入理解01函数极限的基本概念函数极限的定义函数极限的直观描述函数在某点的极限是指当自变量趋近于该点时，函数值趋近于一个确定的常数函数极限的数学定义对于函数$fx$，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$varepsilon$，都存在相应的正数$delta$，使得当$0|x-x_0|delta$时，有$|fx-A|varepsilon$，则称$A$为函数$fx$在点$x_0$处的极限函数极限的等价描述函数在某点的极限也可以通过描述函数值与常数之间的“距离”来定义函数极限的性质唯一性函数在某点的极限是唯一的，即对于任意给定的1正数$varepsilon$和$delta$，都存在唯一的常数$A$满足上述条件有界性函数在某点的极限存在时，该点的函数值必定是2有界的局部有界性对于任意给定的正数$varepsilon$，存在相应的3正数$delta$，使得当$0|x-x_0|delta$时，有$|fx|varepsilon$函数极限的存在性单侧极限存在定理如果函数在某点的左侧和右侧分别存在极限，则该点处的函数极限也存在夹逼定理如果存在两个函数$gx$和$hx$，满足当$x tox_0$时，有$gxleq fxleq hx$，且$gx$和$hx$都以同一个常数为其极限，则函数$fx$在该点处也存在极限连续函数的性质连续函数在其定义域内的每一点都存在极限，并且其极限值就是该点的函数值02函数极限的运算性质极限的四则运算极限的四则运算法则应用举例包括加法、减法、乘法和除法的极限运算性质通过具体函数例子，演示如何运用极限的四则运算法则进行计算注意事项强调在运用极限的四则运算法则时，需要注意的前提条件，如函数的极限必须存在等极限的复合运算复合函数的极限定义介绍复合函数的极限概念，以及如何对复合函数求极限复合函数极限的运算法则应用举例阐述复合函数极限的运算法则，包括链式法通过具体复合函数的例子，演示如何运用复则、乘积法则等合函数极限的运算法则进行计算极限的连续性连续性的定义解释函数在某点连续的概念，以及连续性的性质连续性与极限的关系阐述连续性与极限之间的联系，说明函数在某点连续必须满足的条件应用举例通过具体连续函数的例子，演示如何判断函数的连续性03函数极限的应用利用函数极限求值计算极限值通过函数极限，我们可以计算某些表达式的极限值，例如计算数列的极限、函数的极限等解决实际问题在解决一些实际问题时，如求瞬时速度、曲线下面积等，可以利用函数极限来逼近求解利用函数极限证明不等式利用极限的保序性通过比较函数在某点的极限值，可以证明某些不等式利用极限的连续性利用函数在某点的极限值，可以证明某些连续性不等式利用函数极限研究函数的性质研究函数的单调性通过研究函数在某点的极限值，可以判断函数的单调性研究函数的连续性通过研究函数在某点的极限值，可以判断函数的连续性04无穷小量与无穷大量无穷小量的定义与性质010203无穷小量是趋于0的无穷小量具有“消失无穷小量具有“等价变量性”性”在自变量的某个变化过程中，无论这在自变量的变化过程中，无穷小量可在自变量的同一变化过程中，任何两个变化过程多么漫长，无穷小量都始以忽略不计，其值可以视为0个无穷小量都等价，即它们趋于0的终保持小于任何正数，并且趋于0速度是一样的无穷大量的定义与性质无穷大量是趋于无穷大的变量在自变量的某个变化过程中，无论这个变化过程多么漫长，无穷大量都始终保持大于任何正数，并且趋于无穷大无无穷大量具有“增长性”在自变量的变化过程中，无穷大量可以无限增长，其值可以视为无穷大无穷大量具有“等价性”在自变量的同一变化过程中，任何两个无穷大量都等价，即它们趋于无穷大的速度是一样的无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量是互为倒数的关系在自变量的同一变化过程中，如果一个变量是无穷小量，那么它的倒数就是无穷大量；反之亦然无穷小量与无穷大量具有“对立统一性”无穷小量与无穷大量在自变量的同一变化过程中既相互对立又相互依存，它们的存在和变化是相互制约的05函数极限的求解方法直接代入法总结词直接代入法是求解函数极限的一种基本方法，适用于一些简单的极限问题详细描述直接代入法是将自变量代入函数表达式中，计算出函数值，然后观察当自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势，从而得出极限这种方法适用于一些简单的极限问题，如常数函数的极限、幂函数的极限等夹逼法总结词详细描述夹逼法是通过比较函数值与两个夹逼函夹逼法是通过构造两个夹逼函数，使得原数的极限，来确定原函数的极限函数位于这两个夹逼函数之间，并且知道VS这两个夹逼函数的极限然后根据夹逼定理，原函数的极限等于这两个夹逼函数的极限中的较小值或较大值这种方法适用于一些较为复杂的极限问题，如分式函数的极限、三角函数的极限等单调有界定理法要点一要点二总结词详细描述单调有界定理法是通过证明函数单调有界，然后利用单调单调有界定理法是通过证明函数在某区间内单调递增或递有界定理求出函数的极限减，并且有上界或下界，然后利用单调有界定理求出函数的极限这种方法适用于一些较为复杂的极限问题，如复合函数的极限、幂级数的极限等在使用单调有界定理法时，需要注意证明函数单调有界的条件，以及应用单调有界定理的步骤和注意事项06函数极限的深入理解函数极限的几何意义总结词详细描述通过几何图形直观理解函数在某点的极限状函数极限的几何意义是指通过绘制函数的图态形，观察函数值在某点的变化趋势，从而理解函数在该点的极限状态在图形上，函数极限表现为函数值趋近于某一点或无穷大时的变化趋势函数极限的物理意义总结词详细描述将函数极限与物理现象进行类比，加深理解函数极限的物理意义是指将函数极限的概念与实际物理现象进行类比，通过物理现象来解释函数极限的概念例如，可以将函数极限与物体运动的速度和加速度的变化趋势进行类比，加深对函数极限的理解函数极限在数学分析中的作用总结词阐述函数极限在数学分析中的重要性和应用详细描述函数极限在数学分析中具有重要的作用它是研究函数的连续性、可导性、积分等重要概念的基础通过研究函数极限的性质和变化规律，可以深入了解函数的性质和行为，为解决复杂的数学问题提供重要的工具和手段THANKS感谢观看。