《函数的极限与连续》课件

《函数的极限与连续》ppt课件•函数极限的概念•函数的连续性目录•极限的应用•连续性的应用•总结与思考01函数极限的概念函数极限的定义函数极限的数列定义若对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，当$nN$时，有$|fx_{n}-L|varepsilon$，则称函数$fx$在$x_{0}$处有极限，且极限为$L$函数极限的直观定义若当$x$趋于$x_{0}$时，函数$fx$的取值逐渐接近某个确定的常数$L$，则称函数$fx$在$x_{0}$处有极限，且极限为$L$函数极限的性质唯一性01若函数$fx$在$x_{0}$处有极限，则该极限值是唯一的局部有界性02若函数$fx$在$x_{0}$处有极限，则存在常数$M$和$delta0$，使得当$0|x-x_{0}|delta$时，有$|fx|M$局部保序性03若函数$fx$在$x_{0}$处有极限，且$fx_{0}0$或$fx_{0}0$，则存在$delta0$，使得当$0|x-x_{0}|delta$时，有$fx0$或$fx0$函数极限的运算性质010203和差运算性质乘积运算性质幂运算性质若$lim fx=A$且$lim gx=B$，若$lim fx=A$且$lim gx=B$，若$lim fx=Aneq0$，则$lim则$lim[fxpm gx]=Apm B$则$lim[fxcdot gx]=Acdot[fx]^{n}=[A]^{n}$B$02函数的连续性连续性的定义函数在某点连续的定义如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续函数在区间上连续的定义如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续连续性的性质连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数复合函数在复合点连续的定义如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点连续初等函数在其定义域内是连续的连续性与可导性的关系可导必连续，但连续不一定可导1导数存在与可导性等价，而极限存在与连续性不2等价左导数存在且等于右导数存在是可导的充分不必3要条件03极限的应用利用极限求函数值总结词利用极限的性质，通过已知的函数值或表达式，推导出其他函数值或表达式的计算方法详细描述在数学中，极限是一种重要的概念，它可以用来求解一些看似无法解决的问题利用极限求函数值就是其中的一个应用通过将函数值逼近某个点或无穷远处，我们可以得到该点的函数值或函数的某些性质例如，利用极限可以求出函数在某一点的切线斜率、面积、体积等利用极限证明不等式总结词详细描述利用极限的性质和不等式的性质，证明在数学中，证明不等式是一个常见的问题两个或多个数的大小关系利用极限可以证明一些看似难以证明的不VS等式通过将不等式转化为极限的形式，我们可以利用极限的性质和不等式的性质来证明不等式例如，利用极限可以证明一些函数的单调性、不等式的等价变换等利用极限求函数的极值总结词详细描述利用极限的性质和函数的极值定义，求解函函数的极值是函数在某一点附近的局部最大数的极值或最小值利用极限的性质和函数的极值定义，我们可以求解函数的极值通过将函数在某一点的导数逼近无穷大或无穷小，我们可以得到该点的极值这种方法在一些实际问题中也有应用，例如求解某些物理问题的极值等04连续性的应用利用连续性判断函数的单调性总结词01单调性是函数的重要性质，利用连续性可以判断函数的单调性详细描述02如果函数在某区间上连续，且在该区间上单调增加或减少，则该函数在该区间上具有单调性这是因为连续函数在其定义域内的任何一点上都是连续的，没有跳跃或间断点，因此其增减性在整个定义域内都是一致的示例03考虑函数$fx=x^2$，它在区间$-infty,0$上是单调减少的，而在区间$0,infty$上是单调增加的这是因为在$x=0$处，函数值从正变负，即函数在这一点上从增加变为减少，因此函数在整个定义域内具有单调性利用连续性证明不等式总结词详细描述示例如果函数在某区间上连续，且在该区间上单调增加或减少，则可以利用函数的连续考虑函数$fx=x^2$，在区间性证明一些不等式例如，如果函数通过利用函数的连续性，可以证$[0,1]$上连续且单调增加如果$fx$在区间$[a,b]$上连续，且$fac明一些不等式fb$，则可以证明$cfrac{fa+$f0cf1$，则可以证明$cfb}{2}$这是因为函数在区间$[a,b]$frac{f0+f1}{2}$上单调增加，所以其平均值必然大于等于中值利用连续性求函数的零点要点一要点二要点三总结词详细描述示例利用函数的连续性可以找到函数的零如果函数在某区间上连续，且在该区考虑函数$fx=x^3$，在区间$[-1,点间上从正变负或从负变正，则可以利1]$上连续因为$f-10$且$f1用函数的连续性找到函数的零点这0$，所以可以确定函数在区间$[-1,是因为函数在这一点上从增加变为减1]$上有且只有一个零点少或从减少变为增加，因此该点必然是函数的零点05总结与思考本章内容的总结函数极限的定义与连续性的定义与性极限与连续的关系性质质我们学习了函数在某点的极限定我们深入探讨了函数在某点或区我们了解到函数在某点的极限值义，以及极限的几个重要性质，间上的连续性，理解了连续函数与该点的函数值的关系，以及极如局部有界性、局部保序性等的基本性质，如零点存在定理等限与连续之间的密切联系对函数极限与连续性的思考与其他数学知识的联系探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他实际应用数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位思考函数极限与连续性在实际问题中的应用，如物理、工程、经济等领域中的实例理论严谨性深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和完备性，理解数学严密性的重要性对后续学习的展望导数与微分预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与极限和连续性的关系级数与积分简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的重要性和应用深化理论学习鼓励学生在后续学习中深化对函数极限与连续性的理解，探索更多相关理论和实际应用感谢观看THANKS。