《线性系统复习》课件

线性系统复习•线性系统的基本概念•线性系统的数学模型•线性系统的稳定性•线性系统的时域分析目录•线性系统的频域分析•线性系统的状态空间分析•线性系统的控制设计contents线性系统的基本概01念线性系统的定义线性系统是指系统的数学模型可以表示为线性方程组的系统，即系统的输出与输入之间满足线性关系线性系统的输出量与输入量线性系统的输出量与输入量之之间成正比关系，即当输入间的关系可以用线性方程组来量增加或减少时，输出量也表示，其中不包含非线性项相应地按比例增加或减少线性系统的特性叠加性线性系统的输出量可以由输入量的线性组合得到，即多个输入量同时作用于系统时，其输出量等于各个输入量单独作用于系统时的输出量之和齐次性当输入量乘以一个常数时，输出量也乘以相同的常数独立性系统的输出量与输入量的作用方式无关，即不同的输入量同时作用于系统时，其输出量互不影响线性系统的分类时不变系统时变系统系统的特性不随时间而改变，即系统的传递系统的特性随时间而改变，即系统的传递函函数不随时间而变化数随时间而变化连续时间系统离散时间系统系统的状态变量和输出变量都是连续变化的系统的状态变量和输出变量都是离散变化的线性系统的数学模02型线性微分方程定义01线性微分方程是包含未知函数及其各阶导数的方程，且方程中的未知函数和其各阶导数都是一次的求解方法02常用的求解线性微分方程的方法有分离变量法、常数变易法、参数法和积分因子法等应用03线性微分方程在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用线性差分方程求解方法常用的求解线性差分方程的方法有定义迭代法、递推法、特征根法和常数变易法等线性差分方程是包含未知函数及其前若干项的差分的方程，且方程中的未知函数和其差分都是一次的应用线性差分方程在离散系统的模拟、时间序列分析、统计学等领域都有应用状态方程010203定义求解方法应用状态方程是描述系统状态状态方程的求解方法包括状态方程在控制系统、电变化的数学模型，通常由分离变量法、常数变易法、路分析、网络分析等领域一组微分方程或差分方程参数法和状态反馈控制等有广泛应用组成线性系统的框图表示定义组成元素应用线性系统的框图表示是一框图由各种基本元件（如框图表示方法在系统分析种用图形方式描述系统结输入、输出、加法器、乘和设计中非常有用，可以构和功能的表示方法法器等）和连接线组成帮助人们直观地理解系统的结构和功能线性系统的稳定性03稳定性的定义输入/输出稳定性如果系统对任何有界输入产生的有界输出，则称系统是输入/输出稳定的内部稳定性如果系统在零输入下的状态随时间收敛于零，则称系统是内部稳定的渐近稳定性如果系统是输入/输出稳定和内部稳定的，则称系统是渐近稳定的判别稳定性的方法代数判据利用线性系统的特征根和矩阵的行列式、迹等代数性质来判断系统的稳定性输入/输出判据利用系统的传递函数或频率响应函数来判断系统的稳定性零极点判据利用系统的极点和零点来判断系统的稳定性稳定性的性质线性不变性线性系统的稳定性不随输入的改变而改变，只与系统的结构和参数有关传递函数的性质传递函数的极点和零点决定了系统的稳定性，极点越靠近虚轴，系统越不稳定；零点越远离虚轴，系统越稳定频率响应函数的性质频率响应函数的极点和零点与传递函数的极点和零点一一对应，也可以用来判断系统的稳定性线性系统的时域分04析零输入响应和零状态响应零输入响应当系统没有输入信号时，由系统的初始状态引起的系统输出零状态响应当系统处于某一初始状态时，输入信号引起的系统输出一阶系统的时间响应01一阶系统的特点是其微分方程中只包含一个积分项或一个一阶导数项02一阶系统的零输入响应通常是一个指数函数，其时间常数决定了响应的速度03一阶系统的零状态响应可以通过求解一阶常微分方程得到二阶系统的时间响应01二阶系统的特点是其微分方程中包含两个一阶导数项或一个二阶导数项02二阶系统的零输入响应可能包含指数函数和正弦函数，取决于系统的阻尼比和自然频率03二阶系统的零状态响应可以通过求解二阶常微分方程得到，通常采用复数解法线性系统的全响应全响应是系统的零输入响应和零状态响应之和，它包括了系统对所有输入信号的响应全响应可以通过叠加原理得到，即分别求出零输入响应和零状态响应，然后将它们相加全响应是线性系统时域分析的重要概念，它反映了系统的全部动态特性线性系统的频域分05析频率响应函数计算方法通过系统传递函数在复平面上的极点和零点进行计算，或者通过实验测量获得定义频率响应函数是线性系物理意义统对正弦输入信号的稳态输出与输入的比值，频率响应函数描述了系表示系统在不同频率下统对不同频率信号的增的性能特性益和相位响应，是分析线性系统动态特性的重要工具频率响应函数的性质实部和虚部频率响应函数的实部表示系统的增益特性，虚部1表示系统的相位特性极点和零点频率响应函数的极点和零点与系统传递函数的极2点和零点相对应，反映了系统的动态特性稳定性频率响应函数的模值小于1时，系统是稳定的；3模值大于1时，系统是不稳定的频域分析的应用系统性能分析系统设计和优化控制工程通过分析频率响应函数，可以了在系统设计和优化过程中，频率在控制工程中，频率响应函数用解系统在不同频率下的性能表现，响应函数是重要的设计指标，用于分析系统的稳定性和动态特性，如带宽、阻尼比等于指导系统的参数调整和优化为控制系统设计和优化提供依据线性系统的状态空06间分析状态空间的基本概念010203状态变量状态方程输出方程描述系统内部状态的变量，通常描述系统状态变量之间关系的数描述系统输出与状态变量关系的选取系统的输入、输出和内部状学方程，通常采用差分方程或微数学方程，通常采用差分方程或态作为状态变量分方程形式微分方程形式状态方程的解法解析法通过代数方法求解状态方程，得到状态变量的解析解数值法采用数值计算方法求解状态方程，如欧拉法、龙格-库塔法等状态变量的初始值求解状态方程时需要给出状态变量的初始值，初始值的选择对求解结果有很大影响状态转移矩阵和系统矩阵状态转移矩阵描述系统状态变量之间转移关系的矩阵，通过求解状态方程得到系统矩阵描述系统输入和输出之间关系的矩阵，由系统的传递函数或微分方程得到线性系统的控制设07计线性系统的可控性和可观性可控性系统状态可以由控制输入从任意初始状态转移到任意目标状态的能力可观性通过系统输出能够推断系统状态的能力可控性判据若系统的可控性矩阵满秩，则系统可控可观性判据若系统的可观性矩阵满秩，则系统可观最优控制设计线性二次调节器问题状态反馈在有限时间区间内，使某种性能指标（如系统将系统状态作为反馈信息，用于调整控制输入状态和控制变量的二次范数）达到最优最优控制策略通过求解最优控制问题，得到最优控制输入LQR控制设计方法LQR方法状态反馈增益基于线性二次调节器问题的最通过求解最优控制问题得到的优控制设计方法反馈增益，用于计算最优控制输入代价函数LQR控制器定义系统状态和控制输入的代根据状态反馈增益和当前系统价，用于衡量系统性能状态，计算最优控制输入并作用于系统THANKS.。