《维向量教学》课件

维向量教学•引言contents•维向量基础•向量的线性组合与线性相关目录•向量空间与子空间•向量的内积与外积•习题与解答01引言课程背景维向量是线性代数中的基本概念，是解决实际问题的重要工具之一随着科技的发展，维向量在计算机图形学、机器学习、信号处理等领域的应用越来越广泛，因此掌握维向量知识对于学生未来的职业发展具有重要意义然而，许多学生在学习维向量时感到抽象和困难，因此需要一种系统的教学方式来帮助他们理解和掌握相关知识课程目标掌握维向量的基本概念和性质，理解理解向量的数量积、向量积、混合积向量的加法、数乘、向量的模等基本等基本运算，掌握向量的线性组合、运算线性相关和线性无关等概念能够应用维向量的知识解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能如计算向量的模、向量的投影、向量力，提高他们的数学素养和综合素质的分解等02维向量基础向量的定义与表示总结词向量的定义与表示是维向量教学的基石，是理解向量性质和运算的基础详细描述向量是一种有方向和大小的量，通常用有向线段表示在二维空间中，向量可以用有序对（x,y）表示，其中x和y是实数在三维空间中，向量可以用有序三元组（x,y,z）表示向量的基本性质总结词向量的基本性质是维向量教学的核心内容，包括向量的模、向量的相等、向量的相反等详细描述向量的模是指向量的长度，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$（在二维空间）或$sqrt{x^2+y^2+z^2}$（在三维空间）向量相等指的是方向和长度都相同的向量相反向量是指方向相反、长度相等的向量向量的运算总结词详细描述向量的运算包括加法、数乘、向量的点向量的加法是指方向相同、长度不同的向乘、向量的叉乘等，是维向量教学的重量的合并，计算公式为（x1+y1,要内容VS x2+y2）数乘是指一个实数与一个向量的乘积，结果仍为一个向量，计算公式为（kx,ky）向量的点乘是指两个向量的点乘运算，结果为一个实数，计算公式为$x1*x2+y1*y2$向量的叉乘是指两个向量的叉乘运算，结果为一个向量，计算公式为（y*z,-x*z,x*y）03向量的线性组合与线性相关向量的线性组合定义性质线性组合是指对一组向量进行加法和线性组合满足交换律、结合律和分配标量乘法运算，得到一个新的向量律计算方法线性组合的一般形式为c₁v₁+c₂v₂+⋯+cnvn，其中c₁,c₂,⋯,cn是标量，v₁,v₂,⋯,vn是向量向量的线性相关010203定义判断方法性质线性相关是指一组向量可如果存在不全为零的标量线性相关向量的个数不超以通过有限次线性组合变c₁,c₂,⋯,c n，使得过维数成零向量c₁v₁+c₂v₂+⋯+cnvn=0，则这组向量线性相关向量组的秩定义计算方法性质向量组的秩是指该组向量通过行初等变换将矩阵转向量组的秩与矩阵的秩相线性组合后能得到的最大化为行阶梯形矩阵，非零等，且秩不超过向量的个线性无关向量的个数行的行数即为秩数04向量空间与子空间向量空间的定义与性质定义向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、加法和数乘的结合律、加法和数乘的分配律等基本性质性质向量空间具有加法的结合律、交换律和单位元，以及数乘的结合律、分配律和单位元等性质子空间的定义与性质定义子空间是向量空间的一个非空子集，它本身也是一个向量空间，具有与原向量空间相同的加法和数乘性质性质子空间具有与原向量空间相同的加法、数乘封闭性、结合律、交换律、分配律等性质向量空间的基与维数基向量空间的基是一组线性独立的向量，它们可以生成整个向量空间一个向量空间的基是唯一的，但基的元素个数可能不同维数向量空间的维数是基中向量的个数对于有限维向量空间，维数是有限的，并且可以由基来表示05向量的内积与外积向量的内积几何意义内积为0当且仅当两个向量垂直定义两个向量的内积定义为它们的对应分量乘积之和计算公式$mathbf{A}cdot mathbf{B}=a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n$向量的外积定义几何意义计算公式三个向量的外积定义为它们对应外积为0当且仅当三个向量共面$mathbf{A}times mathbf{B}分量乘积之和的行列式=a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1$向量的混合积定义三个向量的混合积定义为它们的对应分量乘积之1和的二阶行列式几何意义混合积为0当且仅当三个向量共线2计算公式$mathbf{A}cdot mathbf{B}times mathbf{C}3=a_1b_2c_3-b_3c_2-a_2b_1c_3-b_3c_1+a_3b_1c_2-b_2c_1$06习题与解答习题部分01020304计算向量点积判断向量平行求向量模长向量加法与数乘给定向量$vec{a}=1,2,3$判断向量$vec{a}=1,-2,给定向量$vec{a}=2,-3,给定向量$vec{a}=1,2,3$，和$vec{b}=4,5,6$，求3$和$vec{b}=4,-5,6$是4$，求$left|vec{a}right|$求$2vec{a}-vec{a}$$vec{a}cdot vec{b}$否平行答案及解析答案$vec{a}cdot vec{b}=1times4+2times5+3times6=32$解析根据点积的定义，$vec{a}cdotvec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$答案及解析答案不平行解析两个向量平行的条件是对应分量之比相等，即$frac{a_1}{b_1}=frac{a_2}{b_2}=frac{a_3}{b_3}$但在这个问题中，对应分量之比并不相等，所以向量$vec{a}$和$vec{b}$不平行答案模长为$sqrt{2^2+-3^2+4^2}=sqrt{25}=5$答案及解析解析根据模长的定义，$lef t|vec{a}right|=sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$答案$2vec{a}-vec{a}=2-1times1,2,3=1,2,3$解析根据向量加法和数乘的定义，$kvec{a}-lvec{a}=k-lvec{a}$感谢您的观看THANKS。