高等数学课件D112数项级数及审敛法

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06.l数项级数由无穷多个项组成的级数，每个项都是常数或函数l数项级数的分类按收敛性分为绝对收敛、条件收敛和发散l绝对收敛级数各项的绝对值之和趋于0l条件收敛级数各项的绝对值之和不趋于0，但级数本身收敛l发散级数各项的绝对值之和不趋于0，级数本身也不收敛收敛性数项级绝对收敛性如条件收敛性如发散性如果数数是否收敛，取果数项级数的绝果数项级数的绝项级数的绝对值决于其通项的性对值级数收敛，对值级数发散，级数发散，且该质则该数项级数绝但该数项级数本数项级数本身发对收敛身收敛，则该数散，则该数项级项级数条件收敛数发散计算无穷级数的和在物理学、工程学等领域有广泛应用添加标题添加标题添加标题添加标题解决实际问题，如计算积分、求解在金融、经济等领域用于建模和预微分方程等测l比较审敛法比较级数与已知收敛级数的大小l根值审敛法计算级数的根值，判断级数的收敛性l积分审敛法计算级数的积分，判断级数的收敛性l极限审敛法计算级数的极限，判断级数的收敛性交错级数的定义交错级数是指级数的各项符号交替出现的级数交错级数的审敛法交错级数的审敛法主要包括莱布尼茨审敛法、柯西审敛法和拉贝审敛法莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法是判断交错级数是否收敛的一种方法，主要通过比较级数的各项和级数的极限来确定级数的收敛性柯西审敛法柯西审敛法是判断交错级数是否收敛的一种方法，主要通过比较级数的各项和级数的极限来确定级数的收敛性拉贝审敛法拉贝审敛法是判断交错级数是否收敛的一种方法，主要通过比较级数的各项和级数的极限来确定级数的收敛性级数变换法通过比较审敛法比根值审敛法利积分审敛法利变换，将级数转化较级数的大小，用级数的根值，用积分，判断级为已知的收敛级数，判断其收敛性判断其收敛性数的收敛性判断其收敛性绝对收敛级数各项的绝对值之和趋于0条件收敛级数各项的绝对值之和不趋于0，但级数各项的绝对值之和的极限存在绝对收敛与条件收敛的关系绝对收敛是条件收敛的充分条件绝对收敛与条件收敛的应用在解决实际问题时，需要判断级数的收敛性，以确定级数的值是否存在l柯西收敛准则是判断数项级数收敛性的重要准则之一l柯西收敛准则如果级数满足|a_n|M，且limn-∞a_n=0，则级数收敛l柯西收敛准则的应用可以用来判断一些特殊形式的数项级数的收敛性l柯西收敛准则的局限性对于一些复杂的数项级数，柯西收敛准则可能无法判断其收敛性狄利克雷收敛定理是数项级数收敛定理证明通过比较判别法证明性的一个重要定理添加标题添加标题添加标题添加标题定理内容如果数项级数的部分和应用用于判断数项级数的收敛性，数列有界，那么该数项级数收敛是数项级数收敛性的一个重要判别方法莱布尼茨收敛定理如果级数的部分和数列有界，那么级数收敛证明利用极限的定义和级数的定义进行证明应用判断级数的收敛性，如调和级数、p级数等扩展莱布尼茨收敛定理的推广，如柯西收敛定理、阿贝尔收敛定理等拉贝公式用于计算数项级数的部分和拉贝定理判断数项级数的收敛性拉贝公式的应用求解数项级数的部分和拉贝定理的应用判断数项级数的收敛性l定义直接求和法是一种通过计算级数的每一项，然后将它们相加得到级数和的方法l适用范围直接求和法适用于级数项数有限或级数项数无限但收敛的情况l计算方法直接求和法需要计算级数的每一项，然后将它们相加得到级数和l注意事项直接求和法需要计算级数的每一项，因此计算量较大，不适用于级数项数无限且发散的情况裂项求和法的定义将数列中的每一项分解为两个或多个部分，然后分别求和裂项求和法的步骤将数列中的每一项分解为两个或多个部分，然后分别求和裂项求和法的应用用于求解数项级数的和裂项求和法的优缺点优点是可以简化计算过程，缺点是适用范围有限原理利用等比数列的性质，将数项级数转化为等比数列求和步骤将级数中的每一项与前一项相减，得到新的级数应用适用于等比数列的求和，如等比数列求和公式注意事项在应用错位相减求和法时，需要注意级数的收敛性，避免出现错误结果l乘除求和法一种常用的数项级数求和方法l原理将级数中的每一项乘以一个常数，然后求和l应用适用于某些特定的数项级数，如等比级数、等差级数等l注意事项选择合适的常数，避免出现误差数项级数将函数分解为无穷多个项的和定积分求函数在某区间上的积分利用数项级数求定积分的方法将函数分解为无穷多个项的和，然后求每个项的积分，最后求和应用举例求函数fx=x^2在[0,1]上的定积分，可以将函数分解为无穷多个项的和，然后求每个项的积分，最后求和数项级数的定义和性质利用数项级数证明不等式的基本方法举例说明利用数项级数证明不等式数项级数在证明不等式中的应用和意义数项级数的定义无穷多个项的和数项级数的审敛法比值审敛法、根值审敛法、积分审敛法添加标题添加标题添加标题添加标题数项级数的收敛性收敛、发散、数项级数的应用举例求极限、求条件收敛导数、求积分、求函数值等l数项级数在物理学中的应用例如，在计算物理量时，可以使用数项级数进行近似计算l数项级数在工程学中的应用例如，在计算工程量时，可以使用数项级数进行近似计算l数项级数在经济学中的应用例如，在计算经济量时，可以使用数项级数进行近似计算l数项级数在生物学中的应用例如，在计算生物量时，可以使用数项级数进行近似计算。