高等数学课件D25函数的微分

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06.导数是函数在某导数是函数在某导数是函数在某导数是函数在某一点的切线斜率一点的变化率一点的瞬时变化一点的极限值率微分是函数在某一微分是函数在某一微分是函数在某一微分是函数在某一点的局部线性逼近点的变化率点的斜率点的导数导数是函数在某一点的切线斜率，导数是函数在某一点的瞬时变化率，微分是函数在某一点的增量微分是函数在某一点的瞬时变化量添加标题添加标题添加标题添加标题导数是微分的极限形式，微分是导导数与微分都是描述函数在某一点的数的具体应用变化情况的工具，但导数更侧重于瞬时变化率，微分更侧重于瞬时变化量l微分是函数在某一点的切线斜率l微分是函数在某一点的增量l微分是函数在某一点的变化率l微分是函数在某一点的导数线性性质的定义如果fx和gx都线性性质的证明可以通过定义和是可微函数，那么它们的和、差、积、极限的性质进行证明商都是可微函数，且满足线性性质添加标题添加标题添加标题添加标题线性性质的应用在求解微分方程、线性性质的推广对于多元函数，求极限、求导数等方面都有广泛的线性性质仍然成立，但需要满足一应用些额外的条件幂函数y=x^n，其中n为常数幂函数的导数dy/dx=nx^n-1添加标题添加标题添加标题添加标题幂函数的微分dy/dx=nx^n-1幂函数的积分∫x^ndx=x^n+1/n+1+C指数函数y=a^x，其中a0且a≠1单调性当a1时，函数y=a^x在定义域内单调递增；当0a1时，函数y=a^x在定义域内单调递减极限当x→∞时，y→∞；当x→-∞时，y→0导数y=a^x*lna，其中y表示函数y=a^x的导数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，周y=cotx，周y=secx，周y=cscx，周期为π，最大期为π，最大期为2π，最期为2π，最周期为2π，周期为2π，值为正无穷大，值为正无穷大，大值为正无穷大值为正无穷最大值为1，最大值为1，最小值为负无最小值为负无大，最小值为大，最小值为最小值为-1最小值为-1穷大穷大-1-1加法规则乘法规则fx+gx=fx+gx fxgx=fxgx+fxgx添加标题添加标题添加标题添加标题减法规则fx-gx=fx-除法规则gx fx/gx=fxgx-fxgx/gx^2复合函数微分法则基本函数微分法则复合函数微分法则的复合函数微分法则的局将复合函数分解为基对基本函数进行微应用在复合函数中，限性复合函数微分法则只适用于可微函数，本函数，然后分别对将基本函数替换为导分，得到基本函数不适用于不可微函数基本函数进行微分数，然后进行微分的导数隐函数函数关隐函数微分法则隐函数微分法则隐函数微分法则系式无法直接表通过求导数来求的应用求解隐的局限性不适示为y=fx的形解隐函数函数的导数、求用于所有隐函数，式解隐函数的最大需要满足一定的值和最小值等条件高阶导数对高阶微分对高阶导数的运高阶微分的运算规则遵循算规则遵循函数进行多次函数进行多次链式法则，即链式法则，即求导，得到更求导，得到更先对函数进行先对函数进行高阶的导数高阶的微分求导，再对导求导，再对导数进行求导数进行求导l微分是近似计算的基础，它可以帮助我们更好地理解和处理函数关系l微分可以近似计算函数的导数，从而得到函数的变化率l微分在近似计算中常用于求解函数的极值、拐点等l微分在近似计算中还可以用于求解函数的积分，从而得到函数的面积、体积等数值微分通过计算函数的导数，优化问题微分在优化问题中的应得到函数的近似值用，如梯度下降法、牛顿法等添加标题添加标题添加标题添加标题近似计算通过微分，可以近似计数值积分通过微分，可以近似计算函数的最大值、最小值、拐点等算函数的积分值，如梯形法则、辛普森法则等微分在近似计算微分在近似计算微分在近似计算微分在近似计算中的作用通过中的精度微分中的误差微分中的应用微分微分计算，可以的精度取决于函的误差主要来自在近似计算中广近似地得到函数数的导数，导数于函数的导数，泛应用于求解函的值，从而进行越大，微分的精导数越大，误差数值、求极值、近似计算度越高越小求导数等误差来源近似计算中的误差主要来源于近似函数和真实函数之间的差异误差估计方法常用的误差估计方法包括泰勒级数展开、插值法、数值积分等误差估计公式误差估计公式通常由近似函数的误差项和真实函数的误差项组成误差估计的应用误差估计在工程计算、数值模拟、数据处理等领域有着广泛的应用l微分在优化问题中的应用广泛，如求解最大值、最小值、极值等l微分在优化问题中的应用包括求解线性规划、非线性规划、动态规划等l微分在优化问题中的应用还包括求解最优控制、最优设计、最优决策等l微分在优化问题中的应用还可以求解最优路径、最优资源分配等力学计算加速度、热力学计算温度、电磁学计算电场光学计算折射率、速度、位移等物理压力、体积等物理强度、磁场强度、反射率、透射率等量量电势等物理量物理量边际分析通过微分计算边际成本、边际收益等，帮助企业进行决策弹性分析通过微分计算价格弹性、需求弹性等，帮助企业制定价格策略优化问题通过微分求解最优化问题，帮助企业实现资源配置最优化动态规划通过微分求解动态规划问题，帮助企业制定长期发展策略微分在力学中的应用求解加速度、微分在电学中的应用求解电场强速度、位移等问题度、电势等问题添加标题添加标题添加标题添加标题微分在热力学中的应用求解温度微分在光学中的应用求解光强分分布、热传导等问题布、光传播等问题。