高等数学课件第十二章微分方程121微分方程的基本概念

,01微分方程的基本概念02一阶微分方程03高阶微分方程04微分方程的解的性质05微分方程的数值解法微分方程一阶微分方二阶微分方n阶微分方微分方程的未知函数及程未知函程未知函程未知函解满足微其导数之间数及其导数数及其导数数及其导数分方程的函的关系式之间的关系之间的关系之间的关系数称为微分式为一阶式为二阶式为n阶方程的解偏微分方程含有多个未知一阶微分方程只含有一个函数及其导数的方程未知函数及其导数的方程非线性微分方程未知函数高阶微分方程含有三个或及其导数中至少有一个是非添加标题添加标题三个以上未知函数及其导数线性的方程的方程添加标题添加标题添加标题添加标题添加标题常微分方程未知函数及其二阶微分方程含有两个未导数都是常数的方程知函数及其导数的方程线性微分方程未知函数及其导数都是线性的方程微分方程的通解通过求解微分微分方程的初值问题通过求解方程得到其通解微分方程得到其初值问题的解添加标题添加标题添加标题添加标题微分方程的特解通过求解微分微分方程的边值问题通过求解方程得到其特解微分方程得到其边值问题的解物理描述物体运动、热传导、电磁场等物理现象化学描述化学反应速率、平衡状态等化学现象生物描述生物种群增长、生态平衡等生物现象经济描述市场供求关系、经济增长等经济现象工程描述机械振动、电路分析等工程问题社会学描述人口增长、社会变迁等社会现象定义一阶线性微分方程是指含有一个未知函数和一个未知函数的导数的方程形式一般形式为dy/dx+Pxy=Qx解一阶线性微分方程的解可以通过积分法求解应用一阶线性微分方程在物理、工程等领域有广泛应用l定义一阶非线性微分方程是指含有一个未知函数及其导数的方程，且方程中至少含有一个非线性项l例子y=fx,y，其中fx,y为非线性函数l解法一阶非线性微分方程的解法包括分离变量法、积分因子法、常数变易法等l应用一阶非线性微分方程在物理、化学、生物、工程等领域有着广泛的应用定义一阶常系数线性微分方程是指形如y+py=qx的微分方程，其中p和qx是常数解的形式一阶常系数线性微分方程的解可以表示为y=e^px+∫qxe^pxdx特解一阶常系数线性微分方程的特解可以表示为y=e^px通解一阶常系数线性微分方程的通解可以表示为y=e^px+∫qxe^pxdx定义一阶变系形式一阶变系解法一阶变系应用一阶变系数线性微分方程数线性微分方程数线性微分方程数线性微分方程是指含有一个未的一般形式为的解法包括积分在物理学、工程知函数和一个未dy/dx+Pxy=法、常数变易法、学、经济学等领知函数的导数的Qx，其中Px常数变易法等域有着广泛的应方程，其中未知和Qx是x的函用函数的导数是线数，且Px≠0性的，且系数是变化的定义含有未知函数及其特点未知函数及其导数解的形式一般采用幂级应用广泛应用于物理、导数的方程的次数大于1数或傅里叶级数表示工程等领域定义含有未知特点具有复杂应用广泛应用求解方法数值函数及其导数的性和不确定性，于物理、化学、方法、近似方法高阶非线性方程难以求解生物等科学领域等单击此处添加标题定义n阶常系数线性微分方程，其形式为yn+an-1yn-1+...+a1y+a0y=fx单击此处添加标题解的形式高阶常系数线性微分方程的解通常采用幂级数形式表示单击此处添加标题求解方法采用幂级数法求解，通过求解特征方程得到特征根，进而得到解的形式单击此处添加标题应用高阶常系数线性微分方程在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如电路分析、振动分析等定义含有未知函数及其导数的方程，且导数次数大于1特点系数随未知函数及其导数的变化而变化求解方法常采用积分法、级数法等应用广泛应用于物理、化学、工程等领域解的存在性微分方程的解是否存在，取决于微分方程的性质和条件解的唯一性微分方程的解是否唯一，取决于微分方程的性质和条件解的存在性和唯一性定理微分方程的解的存在性和唯一性可以通过定理来证明解的存在性和唯一性应用微分方程的解的存在性和唯一性在工程、物理等领域有广泛应用稳定性定义解在微小扰动下保稳定性分析通过线性化方法分持不变的性质析解的稳定性添加标题添加标题添加标题添加标题稳定性分类稳定、不稳定、临稳定性应用在工程、物理、经界稳定济等领域有广泛应用l周期性微分方程的解在某些特定时刻会重复出现，称为周期性l振荡性微分方程的解在某些特定时刻会剧烈变化，称为振荡性l周期解满足周期性的解称为周期解l振荡解满足振荡性的解称为振荡解l周期性和振荡性的关系周期性和振荡性是微分方程解的两个重要性质，它们之间存在一定的关系，但并不完全相同解的稳定性解在接近无穷远处的行为解的收敛性解在接近无穷远处的收敛速度解的周期性解在无穷远处的周期性行为解的奇异性解在无穷远处的奇异性行为基本思想将优点简单易缺点精度较应用在工程、微分方程转化行，计算量小低，不适用于物理、化学等为差分方程，高阶微分方程领域有广泛应然后利用差分用方程的解来近似微分方程的解l龙格-库塔方法是一种常用的微分方程数值解法l主要思想通过逐步逼近的方法求解微分方程l优点计算简单，稳定性好，适用于大多数微分方程l缺点收敛速度较慢，不适用于高阶微分方程有限差分法的基本思想将微分方程离散化为差分方程，然后求解差分方程有限差分法的主要步骤离散化、求解差分方程、收敛性分析有限差分法的优缺点优点是简单易行，缺点是收敛速度慢，稳定性差有限差分法的应用在工程、物理、化学等领域有广泛应用单击此处添加标题有限元法的基本思想将求解区域离散化为有限个单元，在每个单元内用简单函数近似表示未知函数，然后求解单元内的未知函数，最后通过单元间的连接关系，得到整个求解区域的未知函数单击此处添加标题有限元法的优点可以处理复杂的几何形状和边界条件，可以处理非线性问题，可以处理大变形问题，可以处理多物理场耦合问题单击此处添加标题有限元法的应用广泛应用于工程领域，如结构力学、流体力学、热力学、电磁学等单击此处添加标题有限元法的发展有限元法在不断发展和完善，出现了许多新的有限元方法，如无网格有限元法、边界元法、有限体积法等。