高等数学方明亮版课件13函数的极限

高等数学方明亮版课件13函数的极限单击添加副标题汇报人目录01单击添加目录项标题02函数极限的定义03函数极限的求法04函数极限的应用05函数极限的扩展01添加章节标题02函数极限的定义函数极限的描述函数极限是指函数在某点或某区间上的极限值极限值是指函数在该点或该区间上的极限值函数极限的定义是函数在某点或某区间上的极限值等于该点或该区间上的函数值函数极限的定义是函数在某点或某区间上的极限值等于该点或该区间上的函数值函数极限的数学表达极限的表示方法函数极限的定义极限的性质极极限的应用函通常用符号函数在某点处的限具有保号性、数极限在微积分、l im表示，如极限是指函数在保序性、保连续函数分析、概率limx→afx=该点附近的变化性等性质论等领域有着广L，其中a是函数趋势fx的定义域内泛的应用的一个点，L是函数fx在点a处的极限值函数极限的性质极限值唯一性如果函数fx在x0处的极限存在，那么极限值是唯一的极限值稳定性如果函数fx在x0处的极限存在，那么对于任意小的ε0，存在δ0，使得当|x-x0|δ时，|fx-L|ε极限值连续性如果函数fx在x0处的极限存在，那么对于任意小的ε0，存在δ0，使得当|x-x0|δ时，|fx-fx0|ε极限值可导性如果函数fx在x0处的极限存在，那么fx在x0处可导，且fx0=L03函数极限的求法极限的四则运算极限的加法法则limx-a[fx+gx]=limx-a fx+limx-a gx极限的减法法则limx-a[fx-gx]=limx-a fx-limx-a gx极限的乘法法则limx-a[fx*gx]=limx-a fx*limx-a gx极限的除法法则limx-a[fx/gx]=limx-a fx/limx-a gx极限的等价无穷小替换概念等价无穷小替换是指在求极限的过程中，将函数中的某些部分替换为等价的无穷小量，以简化计算适用条件当函数中的某些部分为无穷小量时，可以使用等价无穷小替换替换原则替换后的无穷小量与原无穷小量在极限过程中具有相同的阶示例在求极限limx-0x^3+x^2-x-1/x^2+x时，可以使用等价无穷小替换，将x^3+x^2-x-1替换为x^3，将x^2+x替换为x^2，从而简化计算洛必达法则洛必达法则是求函数极限的一种方法洛必达法则适用于0/0型和∞/∞型未定式洛必达法则的基本形式是limx→a fx/gx=limx→a fx/gx洛必达法则的推广形式是limx→a[fx/gx]^n=limx→a[fx/gx]^n泰勒公式l泰勒公式是微积分中的一个重要公式，用于近似计算函数的值l泰勒公式可以将一个函数展开为多项式形式，便于计算l泰勒公式的适用范围函数在x=0处可导，且导数在x=0处存在l泰勒公式的推导过程通过求导和积分得到l泰勒公式的应用在数值分析、优化算法、物理等领域有广泛应用04函数极限的应用利用函数极限证明等式或不等式利用函数极限证明利用函数极限证明利用函数极限证明利用函数极限证明等式或不等式是函等式或不等式可以等式或不等式可以等式或不等式可以数极限的一个重要帮助我们理解函数帮助我们解决一些帮助我们理解函数应用的性质和规律实际问题的极限和连续性之间的关系利用函数极限求函数的值极限的定义函数在某点或某区间上的极限值极限的应用求函数的值、求函数的导数、求函数的积分等求函数极限的方法直接代入法、洛必达法则、泰勒公式等求函数极限的步骤确定函数极限的定义域、确定函数极限的值域、确定函数极限的性质等利用函数极限研究函数的性质连续性函数在某点或某区间上的极限存在，则单调性函数在某点或某区间上的极限存在，且函数在该点或该区间上连续极限值大于或小于函数在该点或该区间上的值，则函数在该点或该区间上单调递增或递减极值函数在某点或某区间上的极限存在，导数函数在某点或某区间上的极限存在，且极限值等于函数在该点或该区间上的导数，则函数且极限值大于或小于函数在该点或该区间在该点或该区间上可导上的值，则函数在该点或该区间上存在极值利用函数极限解决实际问题求极限通过函数极限的定义和性质，求最大值和最小值利用函数极限的定求解函数在某点或某区间的极限值义和性质，求解函数的最大值和最小值求导数利用函数极限的定义和性质，求渐近线利用函数极限的定义和性质，求解函数的导数求解函数的渐近线求积分利用函数极限的定义和性质，求极限值利用函数极限的定义和性质，求解函数的积分求解函数的极限值05函数极限的扩展无穷小与无穷大无穷小一个函无穷大一个函极限函数在某无穷小与无穷大数在某点或某区数在某点或某区点或某区间内的的关系无穷小间内无限趋近于间内无限趋近于极限值，表示函与无穷大是函数0，但不等于0正无穷或负无穷，数在该点或该区极限的两个极端但不等于正无穷间内的变化趋势情况，它们共同或负无穷构成了函数极限的基本概念无穷小的阶的比较l无穷小阶的定义无穷小量之间的比较l无穷小阶的比较方法使用等价无穷小替换l无穷小阶的应用在极限计算中，无穷小阶的比较可以帮助我们更快地找到极限值l无穷小阶的性质无穷小阶的大小与函数值的大小无关，只与函数的变化趋势有关无穷大的分类无穷大表示一个数比任何其他数都大无穷小表示一个数比任何其他数都小无穷大和无穷小的关系无穷大和无穷小是相对的，无穷大比任何其他数都大，无穷小比任何其他数都小无穷大的分类无穷大可以分为正无穷大和负无穷大，正无穷大表示一个数比任何其他正数都大，负无穷大表示一个数比任何其他负数都小无穷小与无穷大的应用l极限的定义函数在某点或某区间的极限l无穷小与无穷大的概念无穷小是极限为0的函数，无穷大是极限为无穷大的函数l无穷小与无穷大的性质无穷小与无穷大是极限的特例，具有极限的性质l无穷小与无穷大的应用在解决极限问题、微积分问题、函数分析等问题中，无穷小与无穷大是重要的工具和方法感谢观看汇报人。