《数值分析第二章》课件

《数值分析第二章》ppt课件•引言•数值分析的基本概念•线性方程组的数值解法•非线性方程组的数值解法目录•数值积分•常微分方程的数值解法contents01引言课程简介数值分析是数学的一个重要分支，主通过学习本章，学生将掌握数值分析要研究如何利用数值方法解决各种数的基本理论和方法，能够使用计算机学问题，特别是在计算机上实现这些编程实现各种数值算法，解决实际问算法题第二章主要介绍数值分析的基本概念、方法和技术，包括线性方程组、非线性方程组、矩阵运算、数值积分和微分等课程目标理解数值分析的基本培养学生对数值分析概念和方法，掌握常的兴趣和热情，提高见的数值算法和技巧其数学素养和科学计算能力能够使用计算机编程实现各种数值算法，解决实际问题02数值分析的基本概念数值计算与数值分析数值计算使用数学方法对数值数据进行处理，得到数值结果的过程数值分析研究数值计算的数学理论和方法，以提高数值计算的精度和效率误差的来源与分类误差的来源主要来源于计算机的有限精度表示、舍入误差、截断误差等误差的分类分为绝对误差、相对误差和有效数字等误差的表示方法误差的表示方法主要有标准误差、最大误差、平均误差等误差的传递在数值计算中，误差会随着计算的进行而累积和传递，影响最终结果的精度03线性方程组的数值解法高斯消元法总结词高斯消元法是一种求解线性方程组的直接方法，通过消元过程将方程组转化为上三角或下三角矩阵，从而求解未知数详细描述高斯消元法的基本思想是将增广矩阵通过一系列行变换化为阶梯形矩阵，然后回代求解在每一步消元过程中，使用高斯消元公式将某一行的元素消为零，同时保证方程的解不变选主元消元法总结词选主元消元法是在高斯消元法的基础上改进的一种方法，通过选择合适的主元来避免数值误差和病态问题详细描述选主元消元法的关键在于选择一个合适的主元，使得在消元过程中矩阵的对角线元素最大选择合适的主元可以避免在消元过程中出现接近零的元素，从而减小数值误差和病态问题迭代法求解线性方程组总结词迭代法求解线性方程组是一种间接方法，通过迭代过程逐步逼近方程的解详细描述迭代法的基本思想是利用已知的近似解来构造下一个近似解，通过不断迭代逼近方程的真实解常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等迭代法的收敛性和收敛速度是关键问题，需要选择适当的迭代公式和参数04非线性方程组的数值解法迭代法求解非线性方程组迭代法的概念迭代法的步骤迭代法是一种通过不断逼近方程解的方法，通过构造迭代首先选择一个初始近似解，然后根据迭代公式进行多次迭公式，使得每一步的解逐渐接近方程的真实解代，每次迭代后得到的解作为下一次迭代的初始值，直到满足收敛条件为止迭代法的收敛性迭代法的应用迭代法是否能够收敛到方程的真实解，取决于迭代公式的迭代法广泛应用于求解非线性方程组、优化问题等领域设计以及初始近似解的选择牛顿-拉夫森法输入牛顿法是一种基于泰勒展开式的迭代法，通过线性化首先选择一个初始近似解，然后根据牛顿公式进行迭标题牛顿法的步非线性方程组，构造出迭代公式，并利用已知的导数代，每次迭代后得到的解作为下一次迭代的初始值，骤信息加速收敛直到满足收敛条件为止牛顿法的概牛顿法的收念敛性牛顿法广泛应用于求解非线性方程组、优化问题等领牛顿法的应在适当的条件下，牛顿法具有二次收敛速度，即随着域用迭代次数的增加，解的误差会以平方的速度减小弦截法弦截法的概念弦截法是一种求解非线性方程组的迭代法，通过不断修正近似解，使得修正后的解满足非线性方程组弦截法的步骤首先选择一个初始近似解，然后根据弦截公式进行迭代，每次迭代后得到的解作为下一次迭代的初始值，直到满足收敛条件为止弦截法的收敛性弦截法在适当的条件下是收敛的，但收敛速度较慢，通常需要多次迭代才能达到满意的精度弦截法的应用弦截法主要用于求解非线性方程组，尤其适用于大规模问题05数值积分牛顿-科茨公式总结词精确度高，但需要高阶导数，计算量大详细描述牛顿-科茨公式是一种高精度的数值积分方法，它利用被积函数的泰勒级数展开来近似计算积分由于需要高阶导数的信息，因此计算量较大，且对于复杂函数的适用性有限复化求积公式总结词简单易行，但精度较低详细描述复化求积公式是将积分区间划分为若干个子区间，并在每个子区间上应用牛顿-科茨公式的一种简化方法由于只用到一阶导数，计算量较小，但精度相对较低龙贝格求积公式总结词详细描述精度高，收敛速度快，适用于复杂函数龙贝格求积公式是一种利用复化求积公式和分部积分的方法来计算数值积分的方法VS它具有较高的精度和较快的收敛速度，适用于求解复杂函数的积分问题06常微分方程的数值解法欧拉方法01020304欧拉方法是数值分析中它基于微积分中的欧拉欧拉方法的基本思想是欧拉方法的优点是简单求解常微分方程初值问公式，通过在时间轴上利用已知的初值来逐步易懂，易于实现，但精题的一种简单而基础的离散化来逼近微分方程逼近微分方程的解度较低，稳定性较差方法的解龙格-库塔方法01020304龙格-库塔方法是数值分析中它基于龙格-库塔公式，通过龙格-库塔方法的基本思想是龙格-库塔方法的优点是精度求解常微分方程初值问题的一在时间轴上离散化来逼近微分利用已知的初值和导数值来逐高，稳定性好，适用于求解复种高精度方法方程的解步逼近微分方程的解杂和非线性的微分方程步长与误差的关系在数值求解常微分方程时，步长步长越小，离散化的精度越高，在选择步长时需要权衡精度和计是一个重要的参数，它决定了离误差越小，但计算量也会相应增算量，以找到最优的解决方案散化的精度和误差的大小大THANK YOU感谢观看。