函数的极限-课件

函数的极限-ppt课件•函数极限的定义•函数极限的性质•函数极限存在的条件•函数极限的计算方法目•无穷小与无穷大•函数的连续性与间断点录contents01CATALOGUE函数极限的定义函数极限的描述性定义01描述性定义当x趋向于某个值a时，函数fx趋向于一个固定值L，即fx→Lx→a02描述了函数在某点附近的趋势，是直观理解极限概念的基础函数极限的精确定义精确定义对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，当|x-a|δ时，有|fx-L|ε提供了判断极限存在的严格数学标准，是描述性定义的精确化函数极限的几何解释几何解释在坐标系中，当x无限接近a时，函数值fx无限接近L，即函数图像上的点无限趋近于a,L这个点通过图形直观地展示了极限的概念，有助于理解极限的物理意义和实际应用02CATALOGUE函数极限的性质函数极限的唯一性总结词函数极限的唯一性是指，对于任意给定的正数，都存在唯一的数满足函数的极限定义详细描述函数极限的唯一性是函数极限的基本性质之一它表明，对于任意给定的正数，函数值趋近于一个唯一的数，使得该数与函数值之间的差的绝对值小于任意给定的正数这个唯一的数被称为函数的极限函数极限的四则运算性质总结词函数极限的四则运算性质是指，函数的极限具有可加性、可减性、可乘性和可除性详细描述函数极限的四则运算性质是函数极限的重要性质之一它表明，对于两个函数的极限，我们可以进行加法、减法、乘法和除法运算，而得到的新的函数的极限仍然存在，并且等于两个函数极限的相应运算结果函数极限的局部性质总结词函数极限的局部性质是指，函数在某一点的极限值只与该点附近的函数值有关，而与远离该点的函数值无关详细描述函数极限的局部性质是函数极限的一个重要性质它表明，函数在某一点的极限值只取决于该点附近的函数值的趋近趋势，而与远离该点的函数值无关这个性质说明，我们只需要关注函数在某一点附近的函数值的趋近趋势，就可以确定该点的极限值03CATALOGUE函数极限存在的条件函数单调性对极限存在的影响030102总结词04总结词详细描述详细描述单调性是判断函数极限存在的重单调递增或递减的函数在一定要条件之一条件下存在极限单调递增的函数，若在某点的单调递增或递减的函数在一定条左侧函数值无限趋近于一个常件下存在极限，这是因为单调性数，则该点为该函数的左极限；保证了函数值在某一方向上无限单调递减的函数，若在某点的趋近于一个常数，从而使得极限右侧函数值无限趋近于一个常存在数，则该点为该函数的右极限函数有界性对极限存在的影响总结词有界函数在一定条件下存在极限详细描述如果一个函数在某点的左右两侧都存在界，那么该函数在该点存在极限具体来说，如果一个函数在某点的左侧都小于等于某个常数A，并且在该点的右侧都大于等于某个常数B，那么该函数在该点存在极限函数有界性对极限存在的影响总结词有界性是判断函数极限存在的必要条件之一详细描述如果一个函数在某点无界，那么该函数在该点不存在极限这是因为无界的函数值无法在某一方向上无限趋近于一个常数，从而使得极限不存在函数连续性对极限存在的影响总结词详细描述总结词详细描述连续函数在某点的极限值等于如果一个函数在某点连续，那连续性是判断函数极限存在的如果一个函数在某点不连续，该点的函数值么该函数在该点的极限值等于重要条件之一那么该函数在该点不存在极限该点的函数值这是因为连续这是因为不连续的函数值无法函数的定义就是如此，即连续在某一方向上无限趋近于一个函数的图像是一条连续不断的常数，从而使得极限不存在曲线04CATALOGUE函数极限的计算方法直接代入法总结词直接代入法是计算函数极限的一种基本方法，适用于函数在某点的极限值可以直接通过代入计算得出的情况详细描述直接代入法是将自变量代入函数表达式，计算出函数值，然后观察当自变量趋于某点或无穷大时，函数值的趋势，从而得出函数的极限值这种方法适用于一些简单的函数，如常数函数、线性函数等夹逼法总结词详细描述夹逼法是通过比较函数与两个夹逼函数首先找到两个函数，它们分别在自变量趋的极限值，来确定原函数的极限值的方于某点或无穷大时，分别大于或小于原函法VS数，并且这两个函数的极限值已知然后通过比较这两个函数的极限值，可以得出原函数的极限值这种方法适用于一些较为复杂的函数，如幂函数、三角函数等单调有界定理法总结词详细描述单调有界定理法是通过利用单调有界定理，单调有界定理指出，如果一个单调有界的数来判断函数的极限是否存在的方法列存在上界或下界，则该数列收敛将这个定理应用到函数上，可以判断函数的极限是否存在如果函数在某点的邻域内单调且有界，则函数的极限存在；否则，函数的极限不存在这种方法适用于一些不易计算但可以判断性质的函数，如指数函数、对数函数等05CATALOGUE无穷小与无穷大无穷小的定义与性质无穷小的定义如果对于任意正数$x$，函数$fx$都满足$|fx|frac{1}{x}$，则称$fx$为无穷小无穷小具有可加性，即$lim_{x toinfty}无穷小的性质fx+gx=lim_{x toinfty}fx+lim_{x toinfty}gx$无穷小不等于0，即$lim_{x toinfty}fx无穷小是比任何有限的数都小的数neq0$无穷大的定义与性质无穷大的性质无穷大不等于0，即$lim_{x toinfty}fx neq0$无穷大的定义如果对于任意正无穷大是比任何有限的数都大的无穷大具有可加性，即$lim_{x to数$x$，函数$fx$都满足$|fx|数infty}fx+gx=lim_{x tox$，则称$fx$为无穷大infty}fx+lim_{x toinfty}gx$无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大是相对的概念，一个函数在某个点或某个区间内可能是无穷小或无穷大，取决于其与其他函数的比较无穷小与无穷大在某些情况下可以相互转化，例如当函数在某点处从正无穷大变为负无穷大时，该函数在该点处为无穷小06CATALOGUE函数的连续性与间断点函数的连续性定义与性质总结词详细描述函数的连续性是指函数在某点的极限值等于函数的连续性可以通过定义来描述，即如果该点的函数值，即函数在该点及其邻域内是对于函数在某点的任何小的邻域内，函数值平滑的，没有跳跃或突变的变化都非常小，则称函数在该点连续此外，连续性还具有一些重要的性质，如局部性质、全局性质和极限性质等函数的间断点分类与性质要点一要点二总结词详细描述函数的间断点是指函数在某点处不连续的点，根据不同的根据函数在间断点处的左右极限是否存在和是否相等，可分类标准，间断点可以分为多种类型以将间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等类型此外，还可以根据间断点的性质和位置，将其分为第一类间断点和第二类间断点连续函数在闭区间上的性质总结词详细描述连续函数在闭区间上具有一些重要的性质，如介值定理介值定理是指在闭区间上连续的函数，如果它在区间两和最值定理等端取不同的值，则在区间内至少存在一个点使得函数值等于这两个值的平均值最值定理是指在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值此外，连续函数在闭区间上还有一致连续性和一致收敛性等性质THANKS感谢观看。