同济六版高等数学第四章第一节课件

BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA同济六版高等数学第四章第一节课件目录CONTENTS•引言•函数、极限与连续性•导数的概念与性质•导数的应用BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA01引言本节内容的背景和重要性背景导数作为微积分的基本概念，是研究函数变化率的重要工具在自然科学、社会科学和工程领域中，导数都有广泛的应用重要性导数不仅是微积分的重要组成部分，也是后续学习的重要基础，如微分方程、积分学、微积分经济等课程都需要用到导数的知识本节内容的结构和内容概述结构内容概述本节内容主要分为三个部分，分别是导导数的定义部分主要介绍了导数的定义和数的定义、导数的计算和导数的几何意符号表示；导数的计算部分介绍了求导的义VS四则运算法则和复合函数的求导法则；导数的几何意义部分则通过切线斜率解释了导数的几何意义BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA02函数、极限与连续性函数的概念与性质函数定义函数是数学上的一个概念，它定义了两个集合之间的对应关系函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等，这些性质对于理解函数的特性以及应用具有重要意义函数的表示方法可以用解析式、表格和图象来表示函数极限的定义与性质极限的定义极限的性质极限的运算极限是描述函数在某一点的变化包括唯一性、有界性、局部保号包括求极限的基本方法、等价无趋势的一种方式，它描述了当自性等，这些性质对于理解极限的穷小替换等，这些运算对于计算变量趋近于某一值时，因变量的概念以及应用具有重要意义函数的极限具有重要意义变化趋势连续性的概念与性质连续性的定义连续性的性质如果函数在某一点的左右极限相等，则称该函包括零点定理、介值定理等，这些性质对于理数在该点连续解连续的概念以及应用具有重要意义连续性与可导性连续的函数不一定可导，但可导的函数一定连续BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA03导数的概念与性质导数的定义与性质导数的定义导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在该点的斜率导数的性质导数具有一些重要的性质，如线性性、可加性、乘积法则、商的导数法则等这些性质在后续的微积分学习中非常重要导数的几何意义切线斜率导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率如果函数在某点可导，那么该点的切线斜率就是该点的导数值函数增减性导数的正负可以用来判断函数在该点的增减性如果导数大于0，则函数在该点递增；如果导数小于0，则函数在该点递减导数的计算方法030102乘积法则04基本初等函数的导数链式法则商的导数法则如果两个函数的乘积在某点可导，对于一些基本的初等函数，如那么它们的乘积的导数等于第一幂函数、指数函数、三角函数等，我们需要知道它们的导数链式法则是计算复合函数导数个函数的导数乘以第二个函数加如果两个函数的商在某点可导，公式这些公式是计算复杂函的重要法则如果u是x的函数，上第二个函数的导数乘以第一个那么它们的商的导数等于被除函数导数的基础且u在某点可导，同时f是u的函函数数的导数除以除函数的平方减去数，那么复合函数fux在相应除函数的导数乘以被除函数的平点的导数等于f的导数乘以u的方导数BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA04导数的应用切线斜率与函数增减性切线斜率极值判定导数描述了函数在某一点的在函数的极值点，一阶导数切线斜率，即函数在该点的等于0，同时二阶导数改变符变化率号，通过此性质可以判断函数的极值点单调性判定通过导数的符号，可以判断函数在某区间内的单调性，如导数大于0表示函数在该区间内单调递增，导数小于0表示函数单调递减极值问题极值概念极值是函数在某点的局部最大或最小值，它描述了函数在某点的变化趋势极值判定通过一阶导数和二阶导数的关系，可以判断函数在某点的极值情况，如一阶导数为0，二阶导数大于0，则该点为极小值点实际应用极值问题在许多领域都有应用，如经济学、物理学等不定积分与微分方程初步微分方程微分方程描述了函数及其导数之间的关系，通过微不定积分分方程可以研究函数的性质和变化规律不定积分是微分的逆运算，它给出了函数的一个原函数，即不定积分的结果是一个函数微分方程的求解族通过不定积分和微分方程的求解方法，可以解决许多实际问题，如物理、工程、经济等领域的问题。