《基本数值运算》课件

《基本数值运算》ppt课件•数值运算简介•数值运算基础•数值计算方法CATALOGUE•数值运算的误差分析目录•数值运算的优化策略•数值运算的常见问题与解决方案01数值运算简介数值运算的概念数值运算是指使用数学公式和它涉及到加、减、乘、除等基数值运算广泛应用于各个领域，算法对数值数据进行处理的计本算术运算，以及指数、对数、如科学计算、工程、金融、医算过程三角函数等高级运算学等数值运算的重要性数值运算能够解决实际问题，提供精确的数据分析和预测它有助于推动科学技术的发展，提高生产力和工作效率数值运算在大数据时代尤为重要，能够处理大规模数据集，挖掘出有价值的信息数值运算的应用领域科学计算工程设计金融分析医学研究在机械、电子、航空航在投资、保险、股票等在药物研发、医学影像数值运算在物理学、化天等领域，数值运算用领域，数值运算用于风分析、疾病诊断和治疗学、生物学等领域中用于分析复杂系统和优化险评估、预测和决策支等方面，数值运算发挥于模拟实验和求解方程设计方案持着重要作用02数值运算基础数的四则运算整数、小数、分数的加减法掌握整数、小数、分数之间的加法、减法运算规则和技巧，理解运算的实质乘除法理解乘法和除法的运算规则，掌握乘法口诀和除法的基本方法幂与根的运算乘方理解乘方的概念，掌握乘方的运算方法和规则开方理解开方的概念，掌握开方的方法和规则，了解平方根和立方根的概念对数与指数的运算对数理解对数的概念，掌握对数运算的方法和规则，了解常用对数和自然对数的概念指数理解指数的概念，掌握指数运算的方法和规则，了解幂的概念三角函数的运算正弦、余弦、正切理解正弦、余弦、正切的概念，掌握其运算方法和规则三角函数的性质了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性等性质，掌握其在直角三角形中的应用03数值计算方法近似计算方法01020304线性插值法多项式插值法拉格朗日插值法样条插值法通过已知的两点数据，计算两利用多项式对数据进行插值，基于拉格朗日多项式的插值方通过样条函数进行插值，适用点之间的数据适用于复杂函数法，精度较高于不规则数据点迭代计算方法牛顿迭代法二分法通过迭代的方式求解方程的根求解函数零点的迭代方法，通过不断缩小区间范围来逼近零点迭代法求解矩阵特征值雅可比迭代法通过迭代的方式求解矩阵的特征值和特征向用于求解线性方程组的迭代方法量数值积分与微分矩形法辛普森法则将积分区间划分为若干个小矩利用梯形法和矩形法的结合，形，然后求和近似积分值提高近似积分的精度梯形法数值微分利用梯形面积近似计算定积分通过差商的方式逼近函数在某的方法点的导数04数值运算的误差分析误差的来源与分类输入数据误差原始数据本身存在误差，如测量误差、舍入误差等算法误差由于算法本身的近似性或不完善性而产生的误差误差的来源与分类•舍入误差由于计算机的有限精度而产生的误差误差的来源与分类010203系统误差随机误差粗大误差由于某种固定的原因导致由于偶然因素导致的误差，明显超出预期范围的异常的误差，如测量设备误差如环境噪声值误差的传递与控制误差传递当一个数值经过多个运算后，每个中间结果的误差会累积并传递给最终结果例如，在矩阵乘法中，舍入误差会随着每个乘法操作的累积而放大误差的传递与控制选择合适的数值稳定使用高精度算法或库算法避免大数吃小如高精度库可以减少数的情况舍入误差减小输入数据误差提高测量精度或进行数据滤波误差的估计与检验误差估计通过分析或实验方法，估计某个运算或算法0102的误差界可以使用数学分析、模拟或实际数据来估误差检验0304计误差对结果进行统计检验，判断其是否在可接可使用的方法包括t检验、F检验等统计检0506受的误差范围内验方法05数值运算的优化策略选择合适的算法迭代法在求解方程组或优化问题时，迭代线性代数算法法（如Jacobi方法、Gauss-Seidel方法等）可以在一定程度上减少计对于大规模矩阵运算，选择合适算量的线性代数算法（如LU分解、QR分解等）可以显著提高计算效率快速算法对于某些问题，快速算法（如快速傅里叶变换、快速排序等）可以在保证正确性的前提下显著提高计算速度提高计算精度使用高精度数据类型迭代改进对于需要高精度的迭代算法，可以采对于需要高精度的计算，使用高精度用迭代改进的方法，逐步提高计算结数据类型（如双精度浮点数）可以减果的精度少误差误差控制在算法实现中加入误差控制机制，确保计算结果的精度满足要求利用计算机硬件加速利用GPU加速利用多核处理器利用专用硬件通过将计算任务分配给通过并行计算，将计算任对于某些特定的问题，可GPU处理，可以显著提高务分配给多个核心同时处以利用专门设计的硬件计算速度理，可以进一步提高计算（如数字信号处理器）进效率行加速计算06数值运算的常见问题与解决方案浮点数溢出与下溢问题浮点数溢出问题浮点数下溢问题解决方案当一个浮点数的绝对值大于可表当一个浮点数的绝对值小于可表选择足够精度的数据类型，或者示的最大正数时，会发生溢出，示的最小正数时，会发生下溢，使用特殊的算法来处理大数和小导致计算结果错误导致计算结果为零数，例如使用科学记数法表示大数和小数舍入误差问题舍入误差问题由于计算机的存储空间有限，无法精确表示所有的小数，导致在计算过程中产生舍入误差解决方案选择合适的舍入方式，例如四舍五入、向上取整、向下取整等同时，可以使用一些算法来减小舍入误差的影响，例如使用泰勒级数展开进行近似计算不收敛问题不收敛问题在迭代算法中，如果迭代序列不收敛，会导致计算结果不正确解决方案选择合适的初始值和迭代步长，或者使用其他算法来避免不收敛的问题同时，可以使用一些收敛性检测算法来检测迭代序列是否收敛THANK YOU感谢观看。