1.4 充分条件与必要条

【新教材】充分条件与必要条件

1.4教学设计（人教版）A教材分析本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，看条件能否推出结论，从而判断命题的真假；然后从命题出发结合实例引出充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证.教学目标与被心素差课程目标

1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.

2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法.

3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.数学学科素养

1.数学抽象充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；

2.逻辑推理通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；

3.数学运算利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；

4.数据分析充要条件的探求与证明将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；

5.数学建模通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力重点充分条件、必要条件、充要条件的概念..难点能够利用命题之间的关系判定充要关系.课前发备教学方法以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练教学工具多媒体敢学过程

一、.问题导入写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？1若xa+b则x〉2ab,2若ab=0,则a=

0.学生容易得出结论；命题⑴为真命题，命题2为假命题.提问对于命题“若P，则q，有时是真命题，有时是假命题.如何判断其真假的？结论看P能不能推出q,如果p能推出q,则原命题是真命题，否则就是假命题.要求让学生自由发言，教师不做判断而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课阅读课本17-22页，思考并完成以下问题

1.什么是充分条件？2,什么是必要条件？3,什么是充要条件？5,什么是充分不必要条件？6,什么是必要不充分条件？7,什么是既不充分也不必要条件？要求学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程

三、新知探究，知识梳理

1.充分条件与必要条件命题真假“若夕，则/是真命题“若P，则是假命题P=^Q推出关系P是q的充分条件q是P的必要条件,不是g的充分条件不是夕的必要条件条件关系

2.充要条件一般地，如果既有p=q,又有q=p,就记作poq.此时，我们说P是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果P是q的充要条件，那么q也是P的充要条件，即如果p=q,那么P与q互为充要条件.概括地说，1如果夕=0,那么〃与互为充要条件.2若尸但今夕，则称夕是°的充分不必要条件.3若0=夕，但则称夕是0的必要不充分条件.AQ,⑷若局,且今0,则称夕是0的既不充分也不必要条件.

3.从集合角度看充分、必要条件记法A={x px},B={x|qx}关系A与B A二B AB且BS图示@CE是的充分不必是的必要不充是的既不充分也P qP qP q结论互为充要条件P,Q要条件分条件不必要条件

四、典例分析、举一反三题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断例1指出下列各题中，0是°的什么条件在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答.1在中，pZAZB,qBO AC；2对于实数筋y,px+y^8,*W2或/6；Q⑶夕5—25—3=0,qa=3；/\a4pab,qbT

1.【答案】见解析【解析】1在中，显然有/给/咫叱/乙所以夕是0的充分必要条件.⑵因为才=2且y=6=x+y=8,即「g〉，但所以夕是q的充分不必要条件.⑶由a—23—3=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3；由a=3可以得出a—23—3=

0.因此,夕是°的必要不充分条件.4由于aVb,当6Vo时，71；b当b0时，故若不一定有/1；b b当a0,0,弓1时，可以推出ab；b当a0,Z0,弓VI时，可以推出b因此夕是q的既不充分也不必要条件.解题技巧充分条件与必要条件的判断方法1定义法若gq，声,，则夕是1的充分不必要条件；若Aq,gp,则夕是Q的必要不充分条件；若Lq,gp,则夕是的充要条件；若gP，则夕是0的既不充分也不必要条件.⑵集合法对于集合力={x|x满足条件0},8={x|x满足条件勿，具体情况如下若AQB,则P是q的充分条件；若空反则夕是’的必要条件；若仁B,则夕是的充要条件；若/反反则夕是g的充分不必要条件；若其4则P是的必要不充分条件.⑶等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充耍关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.跟踪训练一

1.设a6是实数，则“力及是“才〉Q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D题型二充要条件的探求与证明例21“V—4xo”的一个充分不必要条件为A.0〈水4B.0A2C.x0D.x42已知筋y都是非零实数，且xy,求证的充要条件是xy

0.【答案】1B2见解析【解析】1由4/0得0x4,则充分不必要条件是集合｛x|0x4｝的子集，故选B.2法一充分性由灯0及xy,得二上，即，〈士xy xyx yy—v1111必要性由一〈一，得一一一0,即2—

0.x yx yxy因为xy,所以y—x0,所以xy

0.所以,4勺充要条件是灯

0.x y.,1111y—x法二一〈一=一一一〈00-

0.x yx yxyv—x由条件x〉y=y—x0,故由、0Qxy

0.所以又=盯〉0,x y即匕’的充要条件是xy

0.x y解题技巧探求充要条件一般有两种方法⑴探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论设为B,再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B,即从充分性和必要性两方面说明.⑵将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明.跟踪训练二

2.1不等式xx—20成立的一个必要不充分条件是A.x£0,2B.[-1,+8C.0,1D.1,32求证关于x的方程苏+bx+c=o有一个根是1的充要条件是a+6+c=

0.【答案】1B2见解析【解析】1由xx—20得0x2,因为0,2呈[—1,+°°,所以“x£[—1,十8是不等式xx—20成立的一个必要不充分条件.2证明假设,方程aV+8x+c=0有一个根是1,qa+b+c=

0.

①证明即证明必要性.x=1是方程ax+6x+c=0的根，:.a•12+Z•1+=0,即a+力+c=

0.

②证明RD即证明充分性.由a+8+c=0,得c=a—b.V ax+6x+c=0,A ax+bx—a—b=3即ax—1+6x—4=

0.故x—1ax+a+b=

0.，x=l是方程的一个根.故方程/+6x+c=0有一个根是1的充要条件是“+6+c=

0.题型三利用充分、必要条件求参数的范围例3已知夕/—8%—20^0,q/—2%+l-/772^0//70,且P是q的充分不必要条件，则实数/〃的取值范围为____【答案】｛I勿29｝或［9,+8【解析】由/—8%—20W0,得一2WxW10,由胃―2x+l—n*WQni0,得1—zzWxWl+/〃/〃

0.因为,是°的充分不必要条件，所以LO且今,.即｛x|-2WxW10｝是｛x\1—/WxWl+勿，/〃0｝的真子集，/〃0,」一加W-2,所以T—成一2,或勿0,解得力

29.」+勿210」+加10,变式.［变条件］【例3】本例中“夕是0的充分不必要条件”改为“夕是的必要不充分条件”，其他条件不变，试求加的取值范围.【答案】见解析【解析】由V—8x—20W0得一2xW10,由/—2x+1—/“W0/〃0得1—WxWl+〃//〃0因为是q的必要不充分条件，所以g夕，且局则｛x|1一mWxWl+/小用｛x|-2WxW10｝力0所以11一加2—2,解得0〈加W

3.」+/W10即力的取值范围是0,3］,解题技巧利用充分、必要、充分必耍条件的关系求参数范围1化简,、两命题，⑵根据夕与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系，⑶利用集合间的关系建立不等关系，⑷求解参数范围.跟踪训练三

3.已知P=｛x|a—4x〈a+4｝,Q=［x\lx3｝,“才金/是”的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】因为“xRP”是的必要条件，所以a—4W1所以,、解得一w+423即a的取值范围是[—1,5].

五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

1.4充分条件与必要条件

1.充分条件例1例2例

32.必要条件

3.充要条件

七、作业课本23页习题

1.4权学反思因为涉及到的知识点比较多，且知识点较繁琐，且新概念比较抽象，因此本节学习过程中，一定让学生多多参加，并且在解题技巧方面先让学生自己总结，教师再补充说明反盗版维权声明北京凤凰学易科技有限公司（学科网）郑重发表如下声明www.zxxk.com

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