《函数的极值与作》课件

《函数的极值与作》ppt课件•函数极值的基本概念•极值的求法•极值在实际问题中的应用•极值的几何意义目录•极值的进一步探讨contents01函数极值的基本概念极值的定义极值极大值极小值函数在某点的值大于或小于其邻函数在某点的值大于其邻近点的函数在某点的值小于其邻近点的近点的值，则称该点为函数的极值，则称该点为函数的极大值点，值，则称该点为函数的极小值点，值点，函数在该点的值为极值函数在该点的值为极大值函数在该点的值为极小值极值的条件一阶导数测试函数在极值点的一阶导数等于01二阶导数测试函数在极值点的二阶导数等于0或正负号发生变2化区间测试在闭区间上连续的函数，如果区间两端点的函数3值异号，则该区间内必有函数的极值点单调性与极值单调递增与极大值如果函数在某区间内单调递增，则该区间内必存在极大值点单调递减与极小值如果函数在某区间内单调递减，则该区间内必存在极小值点02极值的求法函数的一阶导数函数的一阶导数表示函数在某点的切线斜率，可以用来判断函数在该点的增减性当一阶导数大于0时，函数在该点处单调递增；当一阶导数小于0时，函数在该点处单调递减一阶导数的符号变化点可能是函数的极值点二阶导数与极值当二阶导数大于0时，函数在该点处凹；当二阶导数小于0时，函数在该点处凸二阶导数表示函数在某点的切线斜率的变化率，可以用来判断函数在该点的凹凸性二阶导数的符号变化点可能是函数的拐点或极值点极值的判定定理极值判定定理如果一个函数在某点的左右两侧的导数符号发生变化，则该点为函数的极值点该定理是判断函数极值点的充分必要条件，可以用来确定函数的极值点03极值在实际问题中的应用经济问题中的极值应用利润最大化在生产和经营过程中，企业常常面临如何分配资源、选择生产策略等问题，极值理论可以用来解决这类问题，找到利润最大化的最优解投资组合优化投资者在选择投资组合时，需要权衡风险和收益，极值理论可以用来确定最优的投资组合，使得在一定风险水平下获得最大的预期收益物理问题中的极值应用力学平衡在物理学中，很多问题涉及到物体在力的作用下达到平衡状态，极值理论可以用来确定平衡点的位置和稳定性光学问题在光学中，光线经过透镜或其他光学元件会发生折射和反射，极值理论可以用来分析光线的传播路径和能量分布数学问题中的极值应用函数优化在数学中，很多问题涉及到函数的最值问题，如求函数的最大值或最小值，极值理论是解决这类问题的有效工具数值分析在数值分析中，很多算法涉及到求解函数的极值，如牛顿法、梯度下降法等，极值理论为这些算法提供了理论基础04极值的几何意义极值的几何解释极值点01函数图像上存在一个点，该点处的切线与x轴平行，即切线斜率为0极值点判定02通过一阶导数判断，若一阶导数在某点的左右两侧异号，则该点为极值点极值点类型03极大值点和极小值点，取决于一阶导数在极值点左侧为正还是负函数图像的极值点单调性变化函数在极值点处由单调递增变为单调递减或由单调递减变为单调递增极值点位置极值点可能出现在函数图像的任何位置，包括开区间、闭区间和区间端点极值点与最值极值点不一定是函数的最值点，但最值点一定是极值点极值与函数图像的凹凸性010203凹凸性定义凹凸性与极值判定方法函数图像上任意两点的连线位于在函数图像的凹凸拐点处，可能通过二阶导数判定，若二阶导数该函数图像的下方或上方，则该存在极值点大于0，则函数图像为凹；若二函数图像为凹或凸阶导数小于0，则函数图像为凸05极值的进一步探讨多变量函数的极值定义多变量函数在某点的极值是指该点处函数值相对于邻近点01的函数值较小或较大0203判定方法应用梯度向量法，即通过计算函数在某点的在优化问题、经济模型等领域有广泛梯度向量，若梯度向量为零，则该点可应用能是极值点无约束条件的极值问题定义01无约束条件的极值问题是指函数在全域内寻找极值点，不受任何限制求解方法02通过求导数并令其为零，找到可能的极值点，再通过二阶导数判断该点是否为极值点应用03在物理学、工程等领域有广泛应用约束条件下的极值问题定义约束条件下的极值问题是指在某些特定条件下寻找函数的极值点求解方法通过拉格朗日乘数法或卡罗需-库恩-塔克条件等，将约束条件转化为等式或不等式，再结合无约束条件的极值问题求解应用在经济学、运筹学等领域有广泛应用THANKS感谢观看。