《函数极值与导数》课件

《函数极值与导数》ppt课件•函数极值的概念•导数与极值的关系•极值在实际问题中的应用•导数的几何意义与图像分析目•导数的运算与求导法则•综合练习与提高录contents01函数极值的概念极值的定义010203极值单调性唯一性函数在某点的值大于或小在极值点之前，函数单调在一定区间内，函数的极于其邻近点的值，则称该递增或递减；在极值点之值点是唯一的点为函数的极值点，函数后，函数单调递减或递增在该点的值为极值极值的性质局部性可导性无穷性极值只对其周围的点有相极值点必须是可导的，不在无穷区间上，函数可以对影响，对远离的点无影可导点不能是极值点有无穷多个极大值和极小响值极值的判定条件01020304一阶导数测试二阶导数测试表格法实际应用若一阶导数由正变为负或由负若二阶导数等于0或正负号发通过比较函数值来判断是否为根据实际问题的背景和性质，变为正，则该点可能是极值点生变化，则该点可能是极值点极值点选择合适的判定条件和方法02导数与极值的关系导数的定义与性质定义导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部性质的表现性质导数具有连续性、可导性、可积性等性质，这些性质在研究函数的极值问题中具有重要作用导数与极值的关系极值判定定理导数与极值的关系导数的符号变化可以用来判断函数的函数在某点的导数为零，且该点两侧极值点，而极值点的位置又会影响函导数符号相反，则该点为极值点数的单调性单调性定理如果函数在某区间内单调递增（或递减），则该区间内导数大于等于零（或小于等于零）利用导数求极值的方法01020304找出所有使导数为零的点；检查这些点两侧的导数符号是通过以上方法，我们可以利用否相反；确定极值点的位置和大小导数来求解函数的极值问题，进一步了解函数的性质和变化规律03极值在实际问题中的应用最大利润问题总结词利用极值求最大利润详细描述在生产和经营过程中，为了实现利润最大化，常常需要利用极值理论来求解最大利润问题通过分析成本、收益和销量等因素，建立数学模型，利用导数和极值性质找到最优解，实现利润最大化最短路径问题总结词极值在寻找最短路径中的应用详细描述在交通、通信和电力等领域中，常常需要寻找两点之间的最短路径利用极值理论，可以将最短路径问题转化为求函数极值的问题，通过求导数并找到极值点，确定最短路径人口预测问题总结词极值在人口预测中的运用详细描述人口预测是社会发展的重要问题，利用极值理论可以更好地预测人口发展趋势通过建立人口预测模型，利用导数和极值性质找到最优解，预测未来人口数量和变化趋势，为政策制定提供科学依据04导数的几何意义与图像分析导数的几何意义导数表示函数图像上导数等于零表示函数某点的切线斜率在该点处有拐点或极值点导数大于零表示函数在该点处上凸，小于零表示下凸函数的单调性单调递减函数在某区间内，任意两点x1,x2，单调递增当x1x2时，fx1fx2函数在某区间内，任意两点x1,x2，当x1x2时，fx1fx2单调性与导数关系函数在某区间内单调递增（减），则该区间内导数大于等于（小于等于）零函数的极值与拐点极值点函数在某点的值大于（小于）其邻近点的值拐点函数图像上凹凸性发生变化的点，即导数等于零的点极值与拐点的判定方法首先求出函数的导数，然后令导数等于零，解得可能的极值点和拐点再根据二阶导数判断该点是极大值、极小值还是拐点05导数的运算与求导法则导数的四则运算加减乘除运算幂运算指数函数运算导数的加减乘除运算规则与普通幂函数的导数可以通过乘法法则指数函数的导数可以通过自然对函数的加减乘除运算规则类似，进行计算，例如x^n=nx^n-数法则进行计算，例如例如uv=uv+uv1e^x=e^x复合函数的求导法则链式法则链式法则用于计算复合函数的导数，例如设1y=fu，u=gx，则y=fugx隐函数求导隐函数是指一个或多个变量在等式中与自变量相2关联的函数，例如对于方程Fx,y=0，可以通过对F求偏导数来求解y对数求导对于对数函数，可以使用对数求导法则进行计算，3例如对于ln|y|=x，可以求得y=1/x高阶导数的概念与运算高阶导数的定义高阶导数是指一个函数的二阶或更高阶的导数高阶导数的计算高阶导数的计算需要使用到前面学过的求导法则，例如对于幂函数，可以通过幂运算来计算高阶导数高阶导数的应用高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的形状等方面有重要的应用06综合练习与提高极值与导数的综合练习题极值判定定理的运用01通过分析函数的单调性、凹凸性以及一阶、二阶导数的符号变化，判断函数的极值点无穷间断点和不可导点的判断02理解函数在无穷间断点和不可导点的性质，掌握判断方法综合题训练03结合实际应用问题，将极值与导数的知识点进行综合运用，提高解题能力利用导数解决实际问题的案例分析经济问题通过分析需求函数、供给函数的一阶导数，研究市场均衡时的价格和数量物理问题利用导数分析物体的运动规律，如速度、加速度的变化金融问题通过研究利率、汇率等函数的导数，分析金融市场的动态变化导数在实际问题中的应用拓展导数在优化问题中的应用利用导数研究生产成本、运输费用等最优化问题导数在预测模型中的应用通过建立基于导数的预测模型，对未来趋势进行预测和分析导数在控制工程中的应用利用导数研究系统的稳定性、控制策略等THANK YOU感谢观看。