《函数的极值和导数》课件

《函数的极值和导数》ppt课件目录•函数的极值•导数与极值的关系•极值在实际问题中的应用•导数的几何意义•导数的计算方法Part函数的极值01极值的定义极值点极大值极小值在某点的左侧，函数值小在某点的右侧，函数值小函数在某点的值大于或小于该点的值，则称该点为于该点的值，则称该点为于其邻近点的值，则称该极大值点，对应的函数值极小值点，对应的函数值点为极值点为极大值为极小值极值的判定条件STEP03若函数在某点的左右极限无穷间断点测试不相等，则该点可能是极值点STEP02若二阶导数在某点为零，二阶导数测试且一阶导数在该点的左右两侧符号相反，则该点可STEP01能是极值点一阶导数测试若一阶导数在某点的左右两侧由正变负或由负变正，则该点可能是极值点极值的计算方法010203导数定义法导数公式法不等式法根据极值的定义，通过比利用已知的导数公式，先通过构造不等式或利用已较函数在极值点附近的函求出导数，再根据导数的知不等式，比较函数在极数值来计算极值符号变化判断极值点，最值点附近的函数值来计算后计算极值极值Part导数与极值的关系02导数的定义和性质总结词导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数值的斜率或切线斜率详细描述导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率通过求导，可以确定函数在某一点的增减性，从而了解函数的局部性质导数与极值的关系总结词导数等于0的点可能是极值点，但不一定是极值点；极值点处导数可能为0，也可能不为0详细描述导数等于0的点可能是极值点，因为这些点可能是函数由增变减或由减变增的转折点然而，极值点并不一定满足导数等于0的条件，例如函数在拐点处可能没有定义或不可导利用导数求极值的方法总结词通过求导判断函数单调性，进而确定极值点详细描述首先求出函数的导数，然后找到导数为0的点，这些点可能是极值点接着判断这些点左右两侧的导数值的正负，如果左侧导数小于0，右侧导数大于0，则该点为极小值点；反之，则为极大值点Part极值在实际问题中的应用03最大利润问题总结词01利用极值理论寻找最大利润详细描述02在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润通过建立数学模型，利用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变量实例03某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品，成本为2万元，售价为5万元求该公司的最大利润通过建立函数并求导，可以找到使得利润最大的产量最小成本问题总结词利用极值理论寻找最小成本详细描述在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本通过建立数学模型，利用函数的极值和导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量实例某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例系数

0.1万元/单位求该公司的最小总成本通过建立函数并求导，可以找到使得总成本最小的采购量最优解问题总结词利用极值理论寻找最优解详细描述在许多实际问题中，需要找到最优的决策变量使得某个目标函数达到最优值通过利用函数的极值和导数，可以找到最优解实例某城市需要制定一个交通规划方案，目标是使得该城市的交通拥堵程度最低通过建立交通流量模型并求导，可以找到使得交通拥堵程度最低的最优交通规划方案Part导数的几何意义04导数在平面上的表示切线斜率导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率对于函数$fx$，其在$x=a$处的导数即为该点处的切线斜率速度与加速度在物理中，导数可以解释为速度的变化率（加速度），这是瞬时速度的数学表达导数在函数图像上的应用函数增减性判断通过求导可以判断函数的增减性如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减极值判断函数的极值点处的一阶导数为0，通过求二阶导数可以判断该点是极大值还是极小值二阶导数大于0时，该点为极小值；二阶导数小于0时，该点为极大值导数与切线斜率的关系切线斜率等于导数在几何上，切线的斜率等于函数在该点的导数因此，求导的过程实际上就是求切线斜率的过程切线方程的求解知道切线的斜率和一点，就可以求出切线的方程同样地，知道函数在某一点的导数和该点的函数值，也可以求出该点处的切线方程Part导数的计算方法05导数的四则运算规则01020304加法法则减法法则乘法法则除法法则$uv=uv+uv$$u-v=u-v$$uv=uv+uv$$leftfrac{u}{v}right=frac{uv-uv}{v^2}$复合函数的导数计算链式法则对数法则$uv=uv+uv$$leftfrac{u}{v}right=frac{uv-uv}{v^2}$指数法则反函数法则$u^n=nu^{n-1}u$$arcsin u=frac{1}{sqrt{1-u^2}}$高阶导数的计算方法公式法定义法利用已知的高阶导数公式，通过根据导数的定义，对函数进行多组合和变换得到所需的高阶导数次求导，直到得到高阶导数递推法应用法结合实际问题，通过分析函数的通过递推关系式，从低阶导数逐性质和变化规律，推导出高阶导步推导出高阶导数数的表达式或计算方法。