二项式定理（精讲）

二项式定理（精讲）

8.2二项式定理

1.二项式定理（〃+人）〃=%〃+*/—/1+...+此〃厂与%+.・.+（^〃（力金N*）

①项数为71+1

②各项的次数都等于二项式的赛指数〃，即〃与的指数的和为b n

③字母按降赛排列，从第一项开始，次数由〃逐项减直到零；字母按升赛排列，41从第一项起，次数由零逐项增直到机

1.通项公式:（），⑺它表示第』项22+i=C%F=g r+1（）=钠+|是常数项；@h r（）是非负整数是整式项；@h r（）是负整数是分式项；@h rU77+I（）是整数为+是有理项.@h ri,二项式系数二项展开式中各项的系数为喘，*，…，3qt二.二项式系数的性质一.形如3+力”（〃金N*）的展开式中与特定项相关的量（常数项、参数值、特定项等）的步骤

①写出二项展开式的通项公式第/一切勺常把字母和系数分离开来（注意符号不要出错）；/+1=

②根据题目中的相关条件列出相应方程（组）或不等式（组），解出r；

③把人代入通项公式中，即可求出/+],有时还需要先求〃，再求匕才能求出八+或者其他量.i二.求形如3+5产（c+d）〃（m，〃£N*）的展开式中与特定项相关的量的步骤

①根据二项式定理把（〃+〃与（分别展开，并写出其通项公式；4c+H

②根据特定项的次数，分析特定项可由3+4〃与（c+

①〃的展开式中的哪些项相乘得到；

③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.三.求二项式系数最大项.如果〃是偶数，那么中间一项（第项）的二项式系数最大；11+1如果〃是奇数，那么中间两项（第等项与第等项）的二项式系数相等且最大.2,+1四.求展开式系数最大项求（〃+云）〃（入）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为b£R4,且第项系数最大，应用伊解出A2,…,4+”2k五.求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解方法二两次利用二项展开式的通项求解整理可得/+几—156=0,Q〃22且〃wN*,解得〃=12,（1+3x）12的展开式通项为T=Ct-（3=Cf・3%k（k=0,1,2,,12）,2C；2・3「NC；；・r+l设展开式中第一+项的系数最大，则13C；-3r C^-3212!12!3+i3539-3r,解得亍工厂《一,r!-12-r!r+l!-ll-r!or-l4412!12!•J-3r r!-12-r!因为故尸因此，展开式中系数最大的项为第项.=9,10故选D.

3.（2023春・山东青岛）（多选）已知（l+2x）9=4（）+〃/+〃212++/9,贝lj（）A.a=144+2B.4+W++/+%=3“的最大值为C.4+/+%+%=/+%+4++G=28D.qi=0,l,2,,8,9【答案】ABD【解析】A选项，根据二项展开式的通项，a=C-x22=l44A选项正确;29B选项，取x=l代入等式，得到3=4+4+%++6+9，B选项正确;选项，取代入等式，得到C x=—1-1=%-+a-a,89结合项B12^a+q+2++“8+“9=3,—1在［a.D选项，根据二项展开式的通项，［=C）2,令,即《ai—ai-\两式相力U得4）+/++4+G---------=9841w2*,故C选项错误;41720解得力■（注彳，又故即〃最大，选项正确.icN,i=6,D6故选ABD

4.（2023•福建宁德•校考模拟预测）（多选）若（2x—l）°=/+］（%-1）+〃2（%-1）2+XGR,B.4+凡+•+1]=3）C.%=180D.%+24+3/++1Ocio=10x3【答案】AC【解析】令x=l得（2乂1-1）|=1=/，所以选项A正确；令X=2得310=6Z++^Z++]0，所以q+%+,+10=3皤—1,所以选项B错误；02因为（2%_『°=[2（%-1）+1]:所以T=C；o[2（%所才〜，7=£・22=180,选项C正确;r+1（2尤-1）=c%+4（x-]）+a,（x—1）++q（）（x-1）,两边对x求导得10x（2x-l）9x2=q+2々2（工一1）+3々3（1一1）2++106r（x-l）9,10令x=2得4+2%+3%+,+10^z=20x39,选项D错误；10故选AC.考法六二项式定理的应用【例61】（2023春•课时练习）设〃为奇数，那么11〃+・1产+猿・11〃一2+..・+片.11_1除以13的余数是（）A.-3B.2C.10D.11【答案】C【解析】ll+C・ll〃T+d・ll2+..・+c;T=+2+・・・+C i.ll+C；-2=（U+l）〃_2=]2〃_2=（13_l）〃_2=C13〃Y・]3〃T+・.・+（_1JI・C；I・]3+（_1）〃・C；_2因为为奇数，则上式二C）・13〃—C・13〃T+・・・+（—l）fc「13—3=C13〃一C；・13〃T+・・・+（—1）Z・C,T・13—131+

10.所以11〃+£；-1产+底,1广2+,・.+C；T.II_I除以的余数是

10.13故选C.【例62】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22°21天后是（）A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六【答案】D［解析］22021=4X22019=4X8673=4X7+1673=4C*•7673+Cj-7672+.•.+嘀.7+嗡,73由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被整除，7故整个式子除以的余数为或；；44=4,故经过皿天后是是星期六，22故选D.【例63】2023•全国•高三专题练习

1.

056.【解析

11.056=1+

0.056=1+C,

0.05+C；-

0.052+«1+

0.3+

0.0375=

1.3375«

1.34故答案为L34【一隅三反】

1.2022・全国•高三专题练习

1.028小数点后保留三位小数.［解析］

1.028=1+

0.028=1+C；x

0.02+C；x

0.022+Cx

0.023+...+C；x

0.028,由二项展开式的性质易知，C；x

0.

0230.001,C x

0.024远小于

0.001,依次类推，故

1.028=1+

0.028弋1+c；x

0.02+C；x

0.022+Cx

0.023«

1.

172.故答案为

1.

172.

2.2023•辽宁丹东・统考一模228除以7所得余数为.【答案】2【解析】228=167=14+27=C；14°27+C/4i26+C4225+...+C472°,其中C4i26+C4225+…+C472°各项均可被7整除，只需判断C；14°27=2,=128除以7的余数即可，而128=7x18+2,所以余数为

2.故答案为

23.2022秋・福建泉州•高三福建省南安国光中学校考阶段练习C:

0.998+C；

0.9982+C；

0.9983+C；

0.9984+C；

0.9985x精确至I」

0.01【解析】原式=1+

0.9985-1=2-

0.0025-1故答案为

30.

84.方法三利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量六.二项式定理应用用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，

1.再利用二项式定理展开，只考虑后面

一、二项（或者是某些项）就可以了.利用二项式定理近似运算时，首先将嘉的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满

2.足近似计算的精确度.考点一二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简16-32%+24%2_8/+%4=（）A.x4B.（2-x）4C.（2+x）4D.（l-2x）4【答案】B【解析】16—32x+24f—8/+/=24+；23（—x）+C22（—x『+C2（—x）3+C（—x）4=（2—故选B【一隅三反】

1.（2022・高二课时练习）设A=37+C；O+C；C；.3,B=C\-36+C.34+C；l+l,则A-B的值为（）A.128B.129C.47D.0【答案】A【解析】A-B=37-C；.36+C^35-C^34+C^33-Cj.32+C^3-1=（3-1）7=27=128故选A.

2.（2023・重庆九龙坡）2c+6C；+18C；+…+2x3iC；=A.B.-（4n-l）C.2x3i D.【答案】B【解析】2c+6C；+18C3++2x3iQ==-（C；X3+C32+C；；X3/J）=-（C；x3°+C；x3+C32+x3〃-1）22[（1+3）〃-1]=（4f选B.考点二二项式指定项的系数的展开式中，含的项的二项式系数为（）xA.28B.56C.70D.112【例21】（2023・全国•高三专题练习）在二项式C——8【解析】回二项式（五-2k「—」告,=C2|的展开式中，通项公式为x【答案】A令4-日=1,求得r=2,可得含x的项的二项式系数为C；=28,故选A.【例22】（2022•甘肃兰州•统考一模）Rx-工丫的展开式的常数项是（）A.40B.40C.20D.20【答案】DI【解析】二项式（2%-的通项公式为却=q.（2%）6f［一［J=C

262.6-2r［、/6令6—2〃=0=〃=3,所以2x~—的展开式的常数项是C；・26-2X

3.（_I）3=_20,故选D12xJ【例23】（2023•海南海口・海南华侨中学校考模拟预测）［1+/T］（2-X）6展开式中/的系数为（））\2xA.270B.240C.210D.180【答案】A【解析】（2-x）6展开式的通项公式为（讨=（-1）/26-«£,则原展开式中/的系数为（-1）2x2‘C；+1x（-l）4x22CJ=

270.故选A【例24】（2023・四川绵阳•统考二模）（3+2x）〃展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则〃的值为（）A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以〃为偶数，故^+得〃1=4,=

6.故选C【一隅三反】（7Y

1.（2023・北京•高三专题练习）在二项式X--的展开式中，含/项的二项式系数为（）D.-10【答案】A【解析】由题设，】=C5r（*）r=（_2）「C；产”,回当r=1时，=—2；/=一10/.团含丁项的二项式系数C；=

5.故选A.的展开式中的常数项是（A.-112B.-48D.112（•河南驻马店•统考二模）（）

2.2023x-1【答案】D【解析】——2展开式的通项为（M=G・-•（—2）,=（—2・q・xT.、x JIX J令厂一5=0,得r=5,贝2）5xC；=—32；令一5=一1,得r=4,则（=（—2）4XC；♦/=80X，故（x-1）（L-21的展开式中的常数项是1X80+（—1）x（-32）=

112.故选D.（•全国•高三对口高考）在---的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项

3.20235是（）35A.-7B.7C.——8【答案】D【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以〃=8,T=C；（=产・（」）=（-1/-2小・螳・产M2%,令8—2左=0,得k=4,所以展开式中常数项是岂=-1*2+C；=

3.故选D O考点三三项式指定项系数【例3】2023・全国•高三专题练习]尤2+二一21的展开式中常数项是\x JA.252B.220C.220D.252【答案】A【解析】由，+!—25=x」y°,可得二项式x-Ly°的展开式通项为x~X X+一「—令解得团展开式的常数项为一=—1=0°10—2r=0,r=5,

156252.故选A.【一隅三反】•河北沧州•校考模拟预测的展开式中的系数为L2023Y—x+yf wA.-10B.10C.-30D.30【答案】C【解析】/-可以看做个盒子，每个盒子中有三个元素，x+y’5-x,y现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含/丁的项为C；卜22*c；_x y=-30/y2,x C故展开式中的系数为_

30.故选C.

2.2023・辽宁・大连二十四中校联考模拟预测工+2丁-326的展开式中孙223的系数为用数字作答.【答案】-6480【解析】因为x+2y-3z6=[x+2y-3z]6,设其展开式的通项公式为T=C；x+2y6-r.-3zr=C；x+2y6-x-3r-z\0r6,r eN,r+i令得的通项公式为『=r=3,x+2yy.2y Cfx.y\O/i3,/7ie N,令加=2,所以x+2y+3z6的展开式中，盯一牙的系数为c x-33C；x22=-6480,故答案为-6480展开式中常数项是2T

3.（2023秋・福建三明•高三统考期末））.（答案用数字作答）\x【答案】-685【解析】2+的展开式的通项为25y=^-kCk Cxk-r-lr=-lr25-kC^Cr xk-2r,0r/s5,^reN,x——5k k令上一贝攵或〃或厂攵21=0,Ur=0,=0=1,4=2,=2,=4,所以常数项为一1°2P工；；+-1|23CfC*+-12，C；C；=32—160+60=—68,、-的展开式中含上的项的系数为

4.（2023秋・广东广州•高三执信中学校考开学考试）已知二项式l-x+5y则〃二-40,【答案】

2、【解析】表示有5个T+@因式相乘,一来源如下:1-X+-51y）yy、、、有个「％+应提供j有个1531-提供5有个q11-X+5y y~提供常数,）y故答案为-68V3此时一系数是C；C；（―1）=—40,即—20=—40,解得a=2故答案为

2.考点四二项式系数性质A.160B.240C.1601D.240x4【例4】（2023春,云南・高三云南师大附中校考阶段练习）（l+2x）6的展开式中二项式系数最大的项是（）【答案】C【解析】因为〃=6,所以（l+2x）6的展开式中二项式系数最大为C,即展开式的第4项,即7；=4（2x）3=160/.故选:c.【一隅三反】L（2023・广东佛山•校考模拟预测）（多选）L+-的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是则下列说法正确的是（-252,各项的二项式系数之和为1024各项的系数之和为D.1024【答案】ABC【解析】因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以〃=10,选项A正确;的展开式中二项式系数之和为C；）o+C；o+4-C；；=2,0=1024,故选项B正确;根据二项式定理知的通项式为兀|=鼾胚皿-=就“冒°一令得左所以x+-2,10-24=0=5,X+9的展开式中常数项为C，所以C°〃5=—252,X—=0,所以各项的系数之和为0,所以D选项错误.—解得=-故选项正确;1,C故选:ABC.

2.（2023・西藏日喀则・统考一模）已知（l-2x）〃的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为__________【答案】-20【解析】第四项和第八项的二项式系数相等,则C=C=77=10,故展开式中X的系数为C；o（-2）=-20,故答案为-20（•福建厦门•统考模拟预测）已知（五-的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大则展开式中

3.202318,的常数项为.【答案】60的二项展开式为；（五厂7T=C所以它的第二项的系数为5=《（-2）的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18,所以有:CY—2=18=〃=6,该二项式的展开式中第二项的二项式系数为C,，l八6/L\67Y6-2所以二项式为，由展开式通项为刀讨=晨4--=q.（-2）r.（%）-））\x\X令—=0n厂=2,所以展开式中的常数项为7；=篮・（一2）2=

60.故答案为

60.考法五系数最大项和系数和【例51】（2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）（x+2）8的二项展开式中系数最大的项为【答案】1792x2,1792/【解析】设（工+2）8展开式的第一+i项的系数最大，解得54Y6,所以系数最大的项为第或第项,67所以系数最大的项为7；=C^25-X3=1792,T=Cg-26-x2=1792x

2.7故答案为1792%21792/【例52】.（2023•辽宁朝阳・朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数/（x）=（1-2x）6=%+4/+々2/+…+g%6（%£R,i=0,l,2,3,…,6）的定义域为R,则（）+［+%+•,,+A.0”6=-1C.%+2%+3%+…+6c%—12D.5）被8整除余数为1【答案】BCD【解析】因为/x=l-2x6ng+qx+az/HF/f,对于A当x=l时，=一26=%+4+/+.・・+4=1,

①，故A错误;对于B当产―1时，/-1=1+26=%-勾+七+…+%=3,，2,

①一

②得巧+%+%=解得=一故正确;21—3,,q+4+%=12^364,B对于C/X=—121-2x5=%+2%工+33X2+...+662，令x=1得/1=q+2/+3/+..・+66=—121—25=12,故C正确；对于D（/5）=96=（8+l）6=86+C*x85+C^x84+...+qx8+l,所以“5）被8整除余数为1,故D正确.故选BCD【一隅三反】（1V

1.（2023・全国•模拟预测）x-i的展开式中系数最大的项为（56…56x570x4或A.70B.56C.-1D.y y4【答案】D）I y（1，1Y【解析】%--的展开式的通项公式为-_L=（—lyqd-,一，（-i）G=q，由二项式系））I yI y（118数中，C最大，此时该二项展开式中第5项的系数（-1）4C；最大，0X--的展开式中系数最大的项为）I y故选D.

2.（2023・湖北襄阳・襄阳四中校考模拟预测）已知（l+3x）〃的展开式中前三项的二项式系数和为79,则展开式中系数最大的项为第（）项项项项A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】（1+3%）”的展开式中前三项的二项式系数和为C+C+C=l++若4=79,。