补上一课 双变量问题

补上一课双变量问题题型分析双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性，解题总的思想方法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决.题型一利用双变量的关系化为单变量例已知函数人幻=一〃〃,设是的两个极值点，且11x+lnx,2xi,X2/x X2xi,若犬证明gx=/xi—fX2—a—21—X2,g

0.―「ri

1.a x2—2x4-1a—y/a2—4^若〃〉令得2,/x=0,=c或X2=证明/x=_g_l+=_p.由于的两个极值点，满足办+./x XI X2f—1=0,所以X1X2=

1.又因为所以X2Xl0,X

21.又一一~一gx=/xi—./X2—2x1—X2=~xi—X2+oln xi-In xi—Q—2xi-%2=al*—%i+x2=—ag+21n%21%2设9x=1—x+21n x,x\,X—12一『9x=0,在+8单调递减，且矶9x1,1=0,从而当+8时，x£l,9xv

0.所以+故〉21n xi—X20,gx

0.X2感悟提升当%，是函数人犬的两个不等的极值点时，是方程了%=的1%2XI,X20两个不等实根，由根与系数的关系可得，及之间的关系，由此可利用替换法将双X1变量化为单变量.训练•长春质检改编已知府=白一有两个极值点加，％证明:120232%+2alnx2,可得函数在上单调递减，在+8上单调递增.«x0,11,法一不妨设〈XIX2,则0XllX2,—

1.e^+x x—11x—12eY+x—xe~—

1.则产%=人X1令gx=er+x—xe~—1x0,11ix0,、,、+则；7=e l+egx=^+1—e+x£所以当时,所以当x£0,1gx0,/时,〈所以当eo,D gagi=o,x£0,时，尸所以方%在上1%0,0,1单调递增，所以/xFl,即在，上加一心尸尸11=°・又#%1=/X2=O,所以於，2—4£0又函数在+8上单调递增,«r1,所以即X2—,X1X

21.X1法二同构构造函数化解等式不妨设X142,贝」I0XllX2,0J

1.*X2由，M=/U2=‘ei e2得——In xi+xi=——In X2+X2,XIX2即工e*i-in i+x]—lnxi=e*2—m—InX

2.因为函数丁=廿十%在上单调递增，所R以成立.xi—In Xi=xi—ln12构造函数hx=x—In xx0,gx=hx—h=x—21n xx0,则g3=l+[N0x0,所以函数在+8上单调递增,所以当时，即当〉时,启,gx0,xl gxgl=0,x lg|x-]又hfx—1—-T-x0,所以在上单调递减,/zx0,1所以,即X1X

21.、丁n口2〃x2-2x+2〃证明/x=x—2+—=;x

0..•函数兀¥有两个极值点・XI,X2,；・方程x2—2x+2〃=0有两个正根Xi,X

2.[x\+X2=2,X\*XI且〃/=4-80,—2a0,—2x2+2a\n X2=；X+X3-2XI+x2由题意得+/X2—2xi+2aln x\解得；04i+%22—x\-xi-2x1+尤2+2〃lnxi・X2=2aln2a—2a—2,令〃一〃/zQ=2Qln22Q—

204.则/⑷=21n2oV0,〃在上单调递减,•••y=/z0,题型二作比整体代换法例•德州质检已知函数.若有两个极值点220234x=xln x—Jm/—«r xi,短，求证In xi+ln X

22.证明若有两个极值点/X XI,X2,即函数了%有两个变号零点，又/x=lnx—znx,所以是方程/=的两个不同的实根,XI,X2In Xi—mx\=0,lnxi+lnx2即解得m=XI+12I In X2-mx2=0,另一方面，得In X2—\n xi=mX2—xi,In X2-In xiIn xi+ln12从而可得X\+x2X2-X\X21+—In—于正ln%2—In xiX2+X1xij xiIn xi+In%2=X2—XI--1XI不妨设〈O xiX2,,,1+1In tflt因此，Inxi+lnx2=:tl.t—1要证In xi+ln A22,1+1In%即证2,/1,t—12t—1即当/时，有1In tt~\~1设函数ht=ln t—12%+l—2t—1Ll2丁a+i2=t r+120,所以力⑺在+8上单调递增.1,又力因此/1=0,11=

0.j2—1于是当%时，有一所以成立.1ln/――;Inxi+lnx22感悟提升对含参数的双变量不等式的证明，一般要利用条件消去参数，把所证明的不等式化为仅含的式子，通过运算，构造，等九XI,X2/=X1X2,=»—X22为变量的新函数，利用这个新函数的性质解决.训练22023・南通模拟改编已知函数次x=〃e—x,〃£区若人幻有两个不同的零点证明XI,X2,Xl+X

22.X证明由八幻=〃厘一得x=0,——a=Q,Y]JC令，则一^一，gx=£—gx=|—x由，得；gx=T xVl]—X由，幻=丁，得X

1.所以在一8,上单调递增，在十上单调递减，g%11,8由于是方程的实根，XI,%2g%=0不妨设XI1A

2.设OX11X2,由得g»=gx2,xie-xi=X2e—X2,等式两边取对数得Inxi—xi=lnx2—Xi.令则代入上式得t=~l,xi=tx\,Inxi—xi=In r+lnxi—ai,x i/日In ttin t；X\=~—7,X2=—t―1l—1t-\~1In2t—1所以XI+X2=■2=ln t-rz0,2Ll设/zZ=ln t—Q1，t~\~1t—\z+1所以121+l—2t—1Ll2//=一所以当t\时，⑺单调递增,所t a+i2°，r+12以⑺⑴所以/2=0,，一，故In T-j0XI+X

22.LI1题型三极值点的偏移例已知函数段=屁一”,如果且於加求证证明法一对称化构3X1WX2,1=2,X1+X

22.造法fx=xe~x,fx=e-Al—x,令/㈤=0,解得％=

1.当变化时，的变化情况如下表x rX,./U一8，X111,+°°+了%—0於）1e由不妨设X1WX2,XlX29结合图象可知X11,X21,/.2—xiVI,xi+X22=X22—XI=^/X2/2——-/2—xi

0.令方%=/%一%,—72x£l,+8,则Frx=x—le2x-2—le-x.Vxl,2x—20,Ae2x-2-l0,则尸冗0,，产%在+8上单调递增，1,当时,x\FxFl=O,即当%时，危人12—%,则曲八一

28.，X1+X

22.法二比值代换法设OX1V1X2,fx\=fX29即xie xi=X2e v2,取对数得Inx\—x\=\nx2—X

2.令则代入上式得X2=g,41In xi—xi=ln+ln xi—tx\,,日In tt\n t行XI—~7,X2—~T.t—1t—

1.r+1\nt2Ll;〉..xi-rxi—2=ln t—n0,2Ll设g⑺=ln t—«D，t~\~1/十t—1112/+1—2t—1t—123⑺丁7+TP=t G+i2°，••当时，⑺单调递增，・tl g・••g«gl=O,2t—1一方口故Ain t0,1I+%

22.感悟提升极值点偏移问题的常见解法对称化构造法构造辅助函数对结论型，构造函数

1.%1+%22%0F%=/x；对结论型，构造函数尸=兀—《申，通过研究的单—X2xo—x%i%2Vx8x0Fx调性获得不等式.比值代换法通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换,=段化为单变量的

2.42函数不等式，利用函数单调性证明.训练已知函数/工=-+尤一有两个零点，设是的两个32^120,XI,X2“X零点，证明XI+%

22.证明/x=%—1eA+22,的极小值点为••JU X=l.=/万=/尤不妨设2=0,X1V1VX2,要证X1+X22,即证X22—X\.若和％属于某一个单调区间，那么只需要比较%和兀的大小，即探求2—212—X2人力力的正负性.2—x—于是构造辅助函数F%=/2—x—«x,%1,代入整理得Fx=—xe-x+2—X—2-ev.求导得Ffx=1—^e^—ex

2.当％时,VI Fx0,则在一上的单调递减.Fx8,1于是FxfU=0,则一%一/2/0,即次2—%/%%

1.将代入上述不等式中，X1则八笛，m=/m/2—即人及/羽.2—又函数/%在+8上的单调递增，1,且X2,2—XI£1,+°°,所以》.故得证.122—X1+A22分层精练•巩固提升【级基础巩固】A已知函数在其图象上任取两个不同的点四⑶

1../U=Qlnx+52,Pxi,yi,QX2,fx i—fX2_总能使得一—一一求实数的取值范围.X2,2,X\—X

2..,/XI—fX2斛由12,xiX20,X\—X2•；仆1~fiX22xi—2X2,•7xi—2X1“X2—2X2,构造函数则gx=/a—2x=alnx+$—2x,gxigx2,，在+8上为增函数,g%0,由于gx=E+x—2,则对任意的，恒成立，gxN0x£0+8由工一可得一81=9+220,4212+2X,当时，则了+当且仅当时，等号成立，x0y=—f+2x=—x—111,x=l三1,因此实数的取值范围为［1,+

8.•苏州模拟改编已知函数加若函数有两个零点

2.20230=^—21nt«x xi,x xiX2,2证明X1+X

24.证明fx—~^—2\nx,x0,f-4，知八©在，上单调递减，/a=UF°2在+8上单调递增，％是极值点，2,=2又为函数的零点，XI,X2“XA0XI2X2,要证只需证X1+X24,X24—XI.4—x\2yV/4—xi=—21n4—xi=^—2xi+4—21n4—xi,x21n xi=0,；•/4—xi=21n xi—2xi+4—21n4—xi,令hx=21nx-2x+4-21n4-x0x2,

2.22x—22EI则/lx=——2+~=7-0,T~.7x4—X X4—x在上单调递增,o,

2.hxh2=

0.•.-Xl0=2,9又兀在+8上单调递增，x2,4—X12,X22,即得证.A4—XI%2,XI+%24湖南名校联考已知函数〃金氏

3.2023・/U=xlnx—QP若犬犬存在单调递增区间，求的取值范围；1若%为兀的两个不同的极值点，证明21,%2t31nxi+lnx2—

1.1解\9J[x=xln x—ax1,x0,.\/x=ln x+1—lax.•/%存在单调递增区间，・有解，/./x=1+ln x—2axQ+ln x-y即—有解.2a人1+lnx I1—Inx人令；一，则，gX=gX=2当％时，单调递增;£0,1g%0,gx当+8时，单调递减.XW1,g%xvo,gx当％时，取得最大值，最大值为=1gx gl=l,故解得2oVgl=l,故的取值范围是一8,y.⑵证明e//x=In x+\—2ax,是方程一的两个不同的根,即

①〃

②•♦.xi,X2Inx=21In xi=2ax\—1,lnx2=2X2—1,要证31nxi+ln%2—1,即证2Q3XI+X

23.小X In xi—In X2

①—

②，得=丁丁，2—yIn xi—InX2,即证不一及显然不妨设3»+%23,XI,X20,XlX20,r=—,则tl,3t—1即证In t—

0.3z+l3f—1设/i0=ln t—3z+l即证岩3/+D3,⑶一11212nI⑺⑶⑶3”=7—+12=t+12,当」£+8时，⑺⑺在+8上单调递增,/.当，时，故1,/0,1,1/z0/il=0,得证.31nxi+lnx2—1【级能力提升】B（•全国甲卷节选）已知函数段）=,一，证明若危）有两个零点

4.2022Inx+x—，则XI,X2X1X

21.证明（）的定义域为（+°°）./X0,[6AX—11e*+x%—1由f淄=----□-T+1=x2。