充分条件必要条件

充分条件、必要条件

一、充分条件与必要条件“若P,则必为真命题“若P，则为假命题4”推出关系p0q p^qP是q的充分条件q是P的必要条件.不是夕的充分条件q不是p的必要条件关系条件判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数定理关系学结论成立的必要条件【注意】前提p=q,有方向，条件在前，结论在后；1是的充分条件或q是p的必要条件；2p q改变说法:“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；3“q是p的必要条件”还可以换成“夕的一个必要条件是q”.

二、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件、充分不必要条件如果且〃〃，则称是州勺充分不必要条件；1=q、必要不充分条件如果夕乙且夕，则称是的必要不充分条件；299n P

9、充要条件如果夕且夕，则称夕是的充分必要条件，简称充要条件；3n99n

9、既不充分也不必要条件如果夕“夕且夕”夕，则称夕是的既不充分也不必要条件4

三、充分必要条件与集合的关系若条件p,q以集合的形式出现，即/二{%%},B={%.%},则由AQB可得，是的充分条件，p q

①若/呈,则夕是的充分不必要条件；5q

②若/,则是的必要条件；=3P9

③若/吴归，则〃是的必要不充分条件；q

④若八人则〃是的充要条件；q

⑤若ASB且屋贝]是的既不充分也不必要条件.6,9充分必要条件判断精髓小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；

四、充分条件、必要条件的判断方法、定义法首先分清条件和结论，然后判断尸和台夕是否成立，最后得出结论.1nq q、命题判断法2

①如果命题:“若p,则夕”为真命题，那么是的充分条件，同时是夕的必要条件；P92

②如果命题.喏p,则为假命题，那么夕不是的充分条件，同时q也不是p的必要条件9•、集合法对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则3小范围=大范围，大范围推不出小范围.、传递法由推式的传递性:pi今p20P3今…,则）〃是的必要条件.421

五、探求充要条件的两种方法、先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件1是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明.、将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过2程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证.题型一充分、必要条件的判断【例1】（2022秋・湖北黄冈高一校考期中）是的（）•.充分而不必要条件.必要而不充分条件A B.充分必要条件既不充分也不必要条件C D.【答案】A【解析】当时，成立，*1x23当工时，不一定成立，如工=不，2xl故是的充分不必要条件，故选X1x2A.【变式（秋江西新余高一新余市第一中学校考开学考试）“a+b4是日〉1112023a26••的（）

2.充分不必要条件必要不充分条件A B.C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当此时满足11=4,a+b4,但且〉不成立，所以充分性不成立；a2b2反之若且〉,可得〉成立，所以必要性成立，所以〉是且〉262a+b4“a+b4”“a2b必要不充分条件故选2”B.【变式（秋云南曲靖高一校考阶段练习）荀子曰“故不积陡步,无以至千里；不积小12]2022・•流，无以成江海.”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积腔步”是“至千里”的______________条件.（填条件关系，例如充分不必要条件、充要条件等等.）【答案】必要不充分条件.【解析】故不积此步，无以至千里，等价于“积度步”不一定“至千里但，，至千里，，必须，，积腔步所以“积胜步”是“至千里”的必要不充分条件.故答案为必要不充分条件【变式13】（2023秋高一课时练习）下列说法不正确的是________.（只填序号）•

①是的必要条件；xwi

②x〉5是x4的充分不必要条件；

③孙是且的充分条件；=0x=0y=0

④/4是x2的充分不必要条件.【答案】

①③【解析】

①中，命题若是的必要条件的逆否命题为若是的必要条件，由一=,可得V1x=l11或,所以是的充分条件，所以

①不正确；

②中，若x5,则成立，即充分--11/=1x4性成立；反之若贝卜〉不一定成立,即必要性不成立,所以芯是的充分%4,5544不必要条件，所以

②正确；

③中，由砂=,可得或所以孙=是％=且歹=的必要条件，所以

③不正x=0y=0,0确；

④中，由一,可得-42x2,所以是的充分不必要条件，所以

④正确.故选

①③4x2【变式春湖南岳阳高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试多选已知是成立的14]2023X9•必要条件，是，成立的充要条件「是，成立的充分条件，,是成立的不充分条件，则下列说法99•不正确的是是「成立的充要条件$是「成立的必要不充分条件A.B..夕是$成立的充分不必要条件.夕是成立的必要不充分条件c5D【答案】ACD【解析】依题意得,SL qq=t由夕，qor得rnp，但不一定能推出「,故不正确；q=A由，sL q得r,又,所以$是「成立的必要不充分条件，故正确；因为夕不一定能r=s B推出，，,不一定能推出夕，所以不正确；C因为4=L〃=s,所以-S,又sLq,所以是成立的充分不必要条件，故不正确.故选96D ACD题型二探求充要条件[例秋湖北高一校联考阶段练习设,则”的一个充要条件是2]2022・a,bwR“ab+4-2a+26都为B.a,b都不为A.a,622C.a,b中至少有一个为D.a,b都不为20【答案】C【解析】ab2a+2b a=a,b中至少有~—个为.古攵[先:+4==a-2b-2=0o—2o2C【变式】秋江苏镇江高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习设则212022a,bcR,••-ab+a+b l=0”的充要条件是+都为B.a,不都为A.a,b-1b-1C.a,b中至少有—为D.a,b都不为-10【答案】c【解析】ab+a+b+l=0^a+,于是得=-或=-a,6wR,1Z+1=011,因此a,b中至少有一^外为,反之当a,b中至少有一个为T时，ab+a+b+l=0,、,-1b中至少有一个为是的充要条件，正确；-1”“M+a+b+l=0”C而或可以是中只有为T”，不正确；“a=T b=T”“a,b A“a=-1或b=T”可以是、,6都为-1”，B不正确；“=-或力可以是、,b中一个为一,另一个为，不正确.故选1=T”10”D C【变式】（高一课时练习）设集合｛小-｝｛小训，贝『且史夕，成立的222021・4=1,8=he4x充要条件是（）A.-1x1B,x1C.x-1D.-1x1【答案】D【解析】由题意可知且住,贝！］且即-xe/3%-1xl,所以且夕’的充要条件为-.故选“xeZ1X1D【变式23】（2023全国高一专题练习）（多选）设全集为,在下列条件中，是Bq Z的充要••条件的有（）A.AuB^A B.（Q/）CB=0C.（胸）C（U8）D./U（q，B）=U【答案】ABCD【解析】对于若入B=4,贝旷；A,反过来，若,则,故互为充要条件，故正确；=N对于如下图，B,Venn若何=0,则此4,若丘4,则44）c8=0,故正确;选项C中，若（朝4）之（加）,则BqZ;反过来，若口,则（板）口（/），故互为充要条件，故正确；选项中，若（）54D ZU”，则（桐）），故；=U=*反过来，若以N,贝［J（枷）口网，故4U

（9）=U,故互为充要条件，故正确.故选ABCD.题型三充分必要条件的证明【例】（秋四川成都高一校考阶段练习）已知b丰，证明/+〃-尤=成立32022a+6+20••的充要条件是a+b=L【答案】证明见解析.【解析】证明先证充分性若〃+则屋+2ab（（）即充分性成立6=1b2-a-b+=a+bp-a+6=1-1=0,・必要性若合+b2-a-b+2ab-0贝bp-a+b=a+ba+b-UQ+1=0因为a+b,0,所以a+b-即+,成立1=0,6=1综上a2+b2-a-b+lab=成立的充要条件是a+b=l.0【变式春诃南周口高一周口恒大中学校考阶段练习已知集合，=卜斤/_/,见〃31]2023z}.•£1判断

8、

9、10是否属于集合4；已知八卜\x=2k+\,k证明的充分非必要条件是夕’.2Z},“X r”“xe【答案】18eZ,9eA,10e4；2证明见解析【解析】1V8=32-l2,9=52-42,.•.85,9eA,假设10=冽2-〃2,加，〃GZ,贝[]加+”〃-同=,且网+同加_“〉2100,剂+网=阂+网=.ji10ji5・10=1x10=2x5ny,加川加川H=1H=2显然均无整数解，仁・104,•••♦•8w/,9cZ,10e

4.J集合左2•3={x|x=2+1,%EZ},贝山恒有左+左+—左2k+\EA21=122,Ar即一切奇数都属于A,又门〃,,・•・“x””的充分不必要条件是“X6夕1【变式32]2023・全国高一假期作业证明“加＜0”是“关于、的方程x2-

2.x+加=0有一正一•负根”的充要条件.【答案】证明见解析【解析】充分性若掰＜，则关于工的方程2x+tn有一正一负根,证明如下X-=0当〃2＜0时,A=-22-4w=4-4m＞0;所以方程-2x+m-有两个不相等的实根，x0设两根分别为X一巧，贝加＜0,所以方程x2-2x+m=有一正一负根,故充分性成立，必要性若“关于的方程x2-2x+m=有一正一负根”，则冽＜，证明如下:设方x00程x1-2x+m=正一负根分别为占，々，贝『=（一，0—=4-4…[xx=m0[2所以加,所以若“关于的方程/加有一正一负根”，则相故必要性成立，0X_2x+=00,所以，”是关于的方程x2-2x+m=有一正一负根”的充要条件.0【变式（秋湖北武汉高一武汉市第六中学校考阶段练习股力（分别是三角形似的三33]2022C••条边长，且,请利用边长b，给出春台为锐角三角形的一个充要条件，并证明之.a,【答案】,证明见解析【解析】/+〃

02.证明如下充分性不是直角三角形，假设是钝角三角形，•••/+/12,abc最大，即过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D,由C NB90°,ZC90°,t勾股定理，得/=42+）2=42+（8+4）2=AD2+CD2+a2+2-CD-a=AC2+a2+2-CD-a=b2+a2+2-CD-aa2+b2,与已知/+〃2矛盾，••・△Z6C为锐角三角形.必要性为锐角三角形,，过点A作BC的垂线,垂足为D,由勾股定理知，490ZC90°°,得，=AD2+BD2=AD2+（a-CD）2=AD2+CD2+a2-2-CD-a=b2+a2-2-CD-aa2+b

2.综上，春台为锐角三角形的一个充要条件为/+/

2.题型四根据充分、必要条件求参数【例4】（2023秋福建厦门高一统考期末）（多选）已知集合4=卜卜0｝，3=卜卜2｝,若％••/是九e B的充分条件，则a可以是（）£A.1B.0C.1D.2【答案】AB【解析】因为小是准的充分条件，所以所以有心故选:

840.AB【变式41】（2023秋高一课时练习）已知夕x-2或x〉10,q:》1+或无1-（a0）.若•P是q的必要条件，则实数的取值范围为___________.【答案】（-吗-9]p+a-2【解析】:夕是的必要条件，，则有心，解得心-

9.MnP1-

19.[a0贝快数4的取值范围为（7,-9]故答案为（e,-9]【变式】秋高一课时练习）已知尸实数满足其中H实数满足422023x3axa0x-2K

3.•若是的充分条件，求实数的取值范围.P9【答案】「|,0）【解析】由P3QXQ,Q，即集合N={x13（7xa.a0}/由即集合g:-

2.W3,3={x|-2W3},因为夕是的充分条件，可得94=5,3a-2则卜,解得一,23a0（2\所以的取值范围是-不.o\J【变式43】（2023秋高一课时练习）已知Px-2或x3,q:4x+m0，若P是9的必要•不充分条件，求实数加的取值范围.【答案】电+8）【解析】设集合]={刘》-或2x3}/5={x|4x+m0}={%|x}/因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，P95A所以-%，解得近-28,所以实数加的取值范围是⑻+8）.。