全称量词与存在量词导学案

导学案【学习目标】

1.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养重点

2.会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养难点【自主学习】一.全称量词与全称量词命题L全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做,并用符号“”表示.全称量词V

2.全称量词命题含有的命题，叫做全称量词命题.全称量词

3.全称量词命题的表述形式全称量词命题“对胡中任意一个x,px成立〜可用符号简记为Vx£M,px1思考如何判断全称量词命题的真假？若判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证Px成立；若判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合〃中的一个尸xo，使得Px不成立即可.L存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做,并用符号“”表示.存在量词

32.存在量词命题含有存在量词的命题，叫做.存在量词命题

3.存在量词命题的表述形式存在量词命题“存在〃中的元素刈，使pxo成立:可用符号简记为3xo eM,pxo2思考如何判断存在量词命题的真假？要判断存在量词命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素小使pxo成立即可.如果在集合M中，使〃㈤成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题.【当堂达标基础练】

1.判断下列全称量词命题的真假:1所有的素数都是奇数；6R,\x\+112Vx3对任意一个无理数X,也是无理数.122解是素数，但不是奇数.所以，全称量词命题”所有的素数都是奇数”是假命题.2V%G R0,

11.，总有|%|之因而田+所以，全称量词命题x6+11”式六是真命题.22=2K2■是无理数，但万是有理数.所以，全称量词命题“对任意一个无理数％,也是无理数是假命题.

2.判断下列全称量词命题的真假1每个四边形的内角和都是360；2任何实数都有算术平方根；33VxG{x Ix是无理数},/是无理数1命题真2命题假3命题假

3.判断下列存在量词命题的真假+2%+3=0；1有一个实数%,使工2平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；3有些平行四边形是菱形.A=4X3=—80,2%+3=0解⑴由于一因此一元二次方程/+无2%+3=0”实根.所以，存在量词命题“有一个实数X,使/+是假命题.⑵由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.3由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.

4.判断下列存在量词命题的真假1存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；2至少有一个整数，使得〃2+〃为奇数;

（3）孔£{9]是无理数},x2是无理数.

（1）命题真

（2）命题假

（3）命题真【当堂达标提升练】

1.下列是全称量词命题且是真命题的为（）A.VxeT,x20B.都有x+y£0C.3x eZ,-XJ+11D.VX,yeR,|x|+|y|00【答案】B【详解】A当x=0时，不等式、2〉0不成立，因此本命题是假命题，所以本选项不符合题意;B因为Vx、歹£，都有是真命题，且是全称命题，本选项符合题意；C本命题是特称命题，不符合题意；D因为当x==0时，|乂+30不成立，因此本命题是假命题，所以本选项不符合题意.

2.（多选）命题P玉wR,X+v+L,0是假命题，则实数力的值可能是（）【答案】BCD【详角窣】由P玉ER,f+bx+LO,得PVXER,X2+/X+

10.」由于命题夕是假命题，所以T7是真命题，所以/+6工+1〉0在x£R时恒成立，则A=b2-40,解得-2b2,

3.已知命题夕Vxe[-1,3],12一一220,若p为真命题，则实数Q的取值范围为.【答案】（-8,-2]【详解】命题夕Vxe[-1,3],X2_Q_220,依题意p为真命题，则〃一一2在区间[-1,3]上恒成立，x2e

[09],x2-2e[-27],99所以—

2.

4.若命题Fx£R,/+2QX+2_=0是假命题”,则实数a的取值范围是.【答案】-2^1【分析】等价于VXET,—+2办+2-〃WO,解A=4/-42-a0,即得解.【详解】解因为命题“大£凡一+2娘+2一=0是假命题，，,所以Vx£尺f+2ax+2-Q w0,所1以A=4Q——4（2—Q）—4Q~+4Q—80,Qj+a—20,—2Q

1.

5.若Fxo^R,21nx12近1^-3》0”是假命题，则实数加的取值范围是【解答】解命题TxoQR，2mx彳+24^111乂0-3》0的否定是2mx^+2V2mx-309依题意，命题“Vx£R,2mx2+2A/^ITIX_30”为真命题,当加=0时，-3Vo成立，则加=0成立,m0当〃#时，不等式21nx2+2V5mx-30恒成立，则，解得-3加（0,9△=8m2+24m0综上得-3加00,所以实数加的取值范围是（-3,0].故答案为（-3,0].

6.已知真分数C满足篙哈窖〉碧‘露〉痣,.…根据上述性质,写出一个全称量词命题或存在量词命题（真命题）【答案】V/）^0,m/70,竺竺〉竺2（答案不唯一）b+m b+n【分析】结合条件及全称量词命题、存在量词命题的概念即得.■、*h八••吉八共a z

八、比门+1a a+2a+1a+3a+2【详解】.真分数7（6心0）满足丁一----7b b+1b b+2b+1b+36+

2.』a+m a+n..\/ba0,加n0,A Ab+m b+n

7.若命题VX£[1,2],一次函数=x+加的图象在x轴上方”为真命题，求实数〃z的取值范围.【答案】{加帆一1}【详解】解当1VXV2时，1+加«工+加2+加.因为一次函数歹=、+〃2的图象在不轴上方，所以1+加〉0,BP m-1,

8.

（1）VxeR,，+QX+2Q_30,求实数Q的取值范围;

（2）3xeR,/+办+24-30,求实数a的取值范围.【解答】解

（1）因为Vx£R,/+办+2-30,所以A=Q2-4（2-3）0,即2-8+120,解得2Q6,即实数a的取值范围为{Q|2V〃6}；

（2）因为mxWR,-30,所以A=Q2-4（2-3）0,即2一8+120,解得qV2或a6,即实数a的取值范围为{|2或a6}.【当堂达标素养练】

1.若P命题“玉o eN,x；2%+1”的否定是“X/X eN,x22V+,”,q命题“若帅=0,则=0或6=0”的否定是“若QbwO,则QWO或bwO”.则下列命题为真命题的是（）A.「P B.p\q C.（力）△夕D.p八D【答案】D【分析】依题意得尸为真命题，为假命题，结合复合命题的真假判断方法即可得结果.【详解】P命题“办£乂*25”的否定是“女£乂》2〈2心，，为真命题；）因为“若仍=0,则0或6=0”的否定是“若他0,则QWO且6工0”，则9为假命题，为真命题所以P△（F）为真命题

2.已知命题3xeR,mx2+20;命题9VxeR,x2-2mx+1O.^1夕都为假命题，则实数加的取值范围是（），）（（A.[1+oo B.—co,-1]C.—oo,-2]D.[—1,1]【答案】A【详解】p,q都是假命题.由p3xeR,〃7+2go为假命题，得VxeR,mx2+20,/.m

0.由qVx eR,/_2mx+10为假，得MXER,x2-2mx+l0/.A=（-2/72）2-40,得用《一1或加2/.；・m

1.故选A.

3.已知集合/={x|-x4},B=[x\x-2^x5},

（1）求”,瓜4）CB；2若集合C={x|2加x〃+l},M3xeC,xw/m的取值范围.【答案】⑴a3={止2W},«/c8=—8,—2D5,+82m4一2或〃221⑴=1x-2x5|,4力={x x-1或x〉4},44c8={x x-2或x5}；2V3xeC,4为假命题，/.Vx eC,xe4为真命题，即4cC=0,乂C={x12加x优+1},A=[x\-\x4^,当C=0时，2加2加+1,即加21,Ar C=0；当Cw0时，由NcC=0可得，2m m+l、J2mm+1+艾2m4解得m—29综上，加的取值范围为加V-2或加

21.4•已知P玉ER,X24-6ZX+2=O.^VXGO,1,x2-a

0.1若为真命题，求的取值范围；2若夕，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围.【答案】1[2+可”-叫-2闵2卜8,-2后卜[1,201解由P玉wR,x2+ax+2=09若〃为真命题，则A=Q2—8N0，解得422五或a«—2五，所以Q的取值范围为[2后,+/”-吟-2闵；2解若9为真命题时，则对x£o/恒成立，V若夕，9一个是真命题，一个是假命题,当，是真命题，9是假命题时，^.\a2\/2^\a-2/2,,r-7f zt则{，或{i,解得[q1[a1当夕是假命题，,是真命题时，则卜2收a2四解得』2g，[al综上所述Q£—8,—2行]D[1,2V

2.

5.设全集0=丸集合4={x|l〈x5},非空集合5={x|2W+2},其中QER.⑴若“x eA”是“x£8”的必要条件,求a的取值范围；⑵若命题“玉£人XAR是真命题，求Q的取值范围.【答案】⑴；,2；2[2,+oo⑴解若x”是的必要条件，则又集合8为非空集合，」1+2〃..21故有{1Q，解得；,，a2,[1+2”52所以a的取值范围g,2,2解因为力={x[lx5},所以6R4={X|X1或x..5},因为命题FXEB,是真命题,所以8口3/0,即1+

20.5,解得a..

2.所以的取值范围[2,+s.。