第03讲4.3对数（4.3.1对数的概念4.3.2对数的运算）

第讲对数对数的概念对数的运算

034.3课程标准学习目标

①理解对数的概念、掌握对数的性质

②掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算通过本节课的学习，要求掌握对数的概念及对数条件，熟

③理解对数的运算性质和换底公式，能熟练运练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则进行用对数的运算性质进行化简求值对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合问题.

④能利用对数的运算性质进行解方程及与指、基函数的综合应用问题的解决知识点对数概念

01、对数的概念一般地，如果〃、=＞且那么数叫做以为底的对数，记作其中叫1NQ0,QW1,X N x=log做对数的底数，叫做真数.N特别的规定〉且的原因Q0,QW1

①当＜时，取某些值时，的值不存在，如；是不存在的.0Nxx=log

②当=时，当时，的值不存在，如『是不成立的；当时，则的取值时任意的，0NwO xx=log nT=27N=0x不是唯一的.

③当时，当则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.=1Nwl,x N=1x【即学即练1】•全国•高一假期作业已知对数式%旬二有意义，则的取值范围为202311J4-aA.-1,4B.-l,OUO,4C.-4,0U0,l D.-4,1【答案】B〉Q+l02【详解】由瓦则丁工■有意义可知«+,解得一＜＜且101114q0,＞-^-

0、一4所以的取值范围为a-l,OUO,

4.故选B、常用对数与自然对数2

①常用对数将以为底的对数叫做常用对数，并把日记为10log IgN

②自然对数为底的对数称为自然对数,并把记作e elog InN故答案为1题型对数方程求解06【典例1】（2023・江苏•高一假期作业）方程lg（x2_1）=[g（2x+2）的根为（）A.—3B.3或或-C.—13D.13【答案】B-1—2x+2【详解】由（）（）得vx2-l02x+2lg f—l=lg2x+2,0x2-2x-3=0,解得x2-\0x=3,〉2x+20所以方程（）（）的根为lg Y-l=lg2x+

23.故选B【典例2】（2023•全国•模拟预测）已知正数x,歹满足lg（2y-x）=lg（2y）-Igx,则〉的最小值为（）B.1C.2D.4【答案】C）满足（）（）得（）殳,lg2y-x=lg2y-lgx,lg2y-x=lg X【详解】由正数》,所以=殳,22-x xy=T7IT9结合x0,y0,得x—i〉o,2

（1）xx21（）（）2x-l2x7x-1当且仅当匚时-，即时取等号,X-1=—x=2X-1故选C【变式1]（•全国•高三专题练习）则加=2023log,“3+logj3=2,【答案】加=也或〃73【详解】设呜=，，原方程可化为一13r+2=0,所以，或，=-2=1,所以或10g3=-210g3=1,zM zM所以加=—或〃2=

3.3故答案为加=立或〃2=

3.3【变式2】（2023・高一课时练习）若lnx—l7=3,则/咋.V一【答案】e6X【详解】因为所以Inx-1”=3,In—=3,y所以一v故答案为e6题型有附加条件的对数求值问题07【典例1】（多选）（2023春・福建•高一校联考期末）已知2=3%=6,则正确的有（）A.cih B.cz+b4C.cih4D.-I—1a b【答案】ABC【详解】故正确，•.,2=3=6,...Q=log262,b=log62,v log6log6,:.ab,A323故不正确，-+7=r-^+-r-^=log62+log3=log6=l,D66a blog6log623•・•a+b=（a+/）（—+—）=—+—+22A/1+2=4,当且仅当q=b时取等号，,a b,Q+6〉4,故B正确,a b a b（因为故等号不成立），故正确.1=—+y

2.1--M ab4,Ca b\a b故选ABC.Q【典例2】（•天津高二学业考试）已知、=，则歹的值为（）2023♦23log-=j,x+243A.-B.3C.4D.82【答案】B【详解】由、可得唱2=3,k13,88则x+2y=\og3+21og-=log3+log-=log8=324222故选B【变式1】（•全国•高三专题练习）已知见上=则〃的值为（）20233a=4=1+2,2a2b遥A.36B.6C.V6D.【答案】c【详解】v3=4h=m0，a=log m,b=log m,34，^7=log.3+^-Iog4=log6=2a2b2w WI即加=或舍去m~=6,4b m——y/6故选C【变式2]2023春・浙江宁波•高二校联考期末已知实数Q,6满足2a=5〃=加且，+:=!，则〃2=________.a b2【答案】100【详解】由加可得而2=5==log m,b=log m=-=log2,=log,”5,a b25又，+=[BP log2+log,5=logJO=l a b22w w所以加；，即加==10100故答案为100题型对数的实际运用08【典例1】,全国•高一专题练习中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农、20235G5G S公式.它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽少,信c=mog i+-2I N道内信号的平均功率信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公S,N N式中真数里面的可以忽略不计,按照香农公式，若在带宽为沙，信噪比为的基础上，将带宽增大到小，I10003信噪比提升到则信息传递速度大约增加了参考数据200000,1g2ko.3A.187%B.230%C.530%D.430%【答案】DS IV【详解】提升前的信息传送速度=仞网8277=g21000=3%log210=—^10^,Nlg255A提升后的信息传送速度二初少-忆3og2200000=3——+1”3—+1=53；[lg

210.3C-C53W-10W[:八所以信息传递速度大约增加了三;XC=

4.30=430%.C10W故选D.【典例2】2023・四川宜宾・统考三模音乐是由不同频率的声音组成的.若音1do的音阶频率为/,则简谱中七个音加，组成的音阶频率分别是/,1do,2re,34%,5so,6la,7sz9814327243W，，；九，与，胃，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶.上/4//8643216128述七个音的台阶只有两个不同的值，记为二，队训,称为全音，尸称为半音，则alg6Z5+lg/？2-Ig2=.【答案】0【详解】9相邻两个音的频率比分别为三，O9c256一厂-由胡思，，，=770=82432lg^+lg^2-lg2=lg+2=lgl=O.o I243y故答案为o.【变式1］（2023秋・甘肃天水•高一统考期末）地震的强烈程度通常用里震级/nlgZ-lg，表示，这里/是距离震中处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏级地震的最大振幅是里氏级地震100km486最大振幅的（）倍.A.1000B.100C.2D.【答案】BZ A【详解】解依题意，则即・A/=lg4—lg4=lg7,7=10,4=410”A434则则里氏级地震的最大振幅是里氏级地震最大振幅的倍.44^=102,86100・41故选B.【变式2］（2023春・江苏盐城,高二江苏省响水中学校考期中）2023年1月31日，据〃合肥发布〃公众号报道，我国最新量子计算机”悟空〃即将面世，预计到年量子计算机可以操控的超导量子比特达到个.已知20251024个超导量子比特共有种叠加态，个超导量子比特共有种叠加态，个超导量子比特共有种叠加态，122438L N〃（左）则称为左+位数，已知个超导量子比特的叠加态的种数=xl/£N,N11024是一个机位的数，则〃（）（参考数据）2=1g2Po.301A.308B.309C.1023D.1024【答案】B【详解】根据题意，得〃个超导量子比特共有〃种叠加态，2所以当有个超导量子比特时共有种叠加态.1024N=2i°24两边取以为底的对数得10lgN=lg23=i0241g2pl024x

0.301=30O224,所以

10388.224=

100.224x

10308.由于，故是一个位的数,即丁=110°2410,N

309309.故选B.夯实基础能力提升综合素养A BC夯实基础A

一、单选题

1.（2023・湖南衡阳•高二校联考学业考试）已知log2（bg4X）=0,那么工彳=（）11一—A.2B.-2C.-D.22【答案】C【详解】依题意，（）log log x=0,24所以x2=42V4~2,所以、=所以log4l,x=4,故选C

2.（2023・全国•高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）「=与A.11111=0B.8log—=8223噢与口.嚏与C.39=29L377=17|=7【答案】C【详解】根据指数式与对数式互化可知对于选项等价于故正确；A5=11111=0,A对于选项一出=；等价于嗓；；，故正确；B88=-B对于选项（等价于故错误；1839=232=9,C对于选项口等价于故正确；故选1877=17=7,D C.（•天津河西•统考三模）已知则内=（）

3.20232=5,b3=b,4255一A.B.-C.25D.599【答案】A【详解】由2=5na=log25，=4喝5-3脸3=4啕5-啕3=/叼=Q）8=（2§污I=（手=—,故选A.（春,陕西榆林•高一统考期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震

4.2023有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位焦耳）与地震里氏震级之间的关系为据此，E MlgE=

4.8+

1.

5.地震震级每提高级，释放出的能量是提高前的（参考数据）（）1V10«

3.16【答案】B【详解】记地震震级提高至里氏震级〃+释放后的能量为由题意可知，（）（）1,lg£-lg£=

4.8+

1.5A/+l-

4.8+

1.5A/1=

1.5,即所以加-lg2=L5,=10-=

1031.

60.E E故选B.

5.（2023•广东东莞・统考模拟预测）已知函数一/2，则/

（0）+/（log336）=（）3JC—2LX.A.4B.5C.6D.7【答案】D【详解】由题意可得（）（）+唾喻铲片/0+/1%36=222+36-2=2+log,2+=2+1+3=7,故选D.

6.（2023•宁夏银川・银川一中校考三模）设q=ln-=°=3咒则（）CA.abc B.ba cC.ach D.cb a【答案】c【详解】因为兀〉且°=In lne=l,=logl3logL1=0,3-2=1c C9所以Qc b.故选CQ

7.（2023・天津•高二学业考试）已知丁=3，log-=y,则x+2歹的值为（）43A.-B.3C.4D.82【答案】B【详解】由2*=3,nj^#x=log3,288则；x+2j=log3+21og-=log3+log-=log8=324222故选B

8.（2023・全国•高三专题练习）已知3=4〃=加/+二=2,则团的值为（）a2b痣A.36B.6C.V6D.【答案】C【详解1•/3=4h=mQ，a=log,m,b=log m,4•・・，+==l0g，〃3+[log加4=log,”6=2,a2b2即或（舍去）/.m2=6m-m=-V6故选c

二、多选题

9.（2023・全国•高一假期作业）下列正确的是（）

1..1追A.2B-9+lne=4=若（）贝若指=，贝C.log3lgx=l,Ux=1000D.log Ijb=q7c【答案】BCD、唾1/164【详解】对于A选项，3押襄=R=

（73）08754=4,A错；\7对于选项，标，对；B+lne=3+l=4B对于选项，因为（）则所以，（）对;C log3lgx=l,lgx=3,X=13=1000,C对于选项，因为“五则指=所以，对.D log=c,b=alc,D故选BCD.

10.（2023秋•山东荷泽・高一统考期末）下列运算正确的是（）A.Ig5+lg2=l B.log3=2log342=C.e,n7t TID.Ig54-lg2=log25【答案】AC【详解】故选项正确；lg5+lg2=lg5x2=lgl0=l,Ar log3log.311ct9噫=闲=福故选项错误;3T”g23,B根据对数恒等式可知，城兀=兀，选项正确;C根据换底公式可得故选项错误.10g52=M=lg2+lg5,D1g5故选AC

三、填空题

11.2023・全国•高三专题练习化简log22+log2xlog3+21og3-6,og62=6666【答案】-log26［详解］吗log22+log2xlog3+21og3-6,og62=-

12.6666故答案为-loge24_-

412.（2023春,江苏南通•高二统考阶段练习）已知Q+G=3,则的值为.2【答案】2『=【详解】因为Q+/=3,所以Q+QT32,即/+2+〃-2=9,所以+a~2=7,——2所以疗下》=嚏以月:log67=12105G=27故答案为2

四、解答题

13.2023・全国•高三专题练习计算

2.1lgl6—21g5+d°.》/上I32722,O8^+f—2+1g20-1g2-log,2x log3+V2-l,gl-19/2【答案】⑴522【详解】10,25-2+f—3--lgl6-21g5+f-2725q,八一？3=2-2+--2lg2+lg5+l=24+--2+116Ya+1g20-1g2-log2x log3+V2-llg,=1+1-14-1=

23214.2023・全国•高一假期作业求值lgV274-lg8-31g^lgl.21263J33由题意可得不一lg+lg-31glG-Ig3+31g2--【详解】1lg3x22-llg-10的值.2|l+Ig

0.001|+Jlg2g—41g3+4+lg6—lg

0.023-Ig3+21g2-l__2_______________-Ig3+21g2-l-2，旭怆檐多+lg6—lg

0.02=+lgl023—43+4+1_g3由题意可得2随=l-3|+7lg3-22+lg2+lg3-2—2,|l+lg

0.001|+因为lg32,所以；|l+lg

0.001|+Jg2_41g3+4+lg6-lg

0.02=2+2-lg3+lg2+lg3—lg2+2=

6.•全国,高一假期作业求下列各式中的值.

15.2023x⑴晦嚏嚏切=4512log log log x=0345【答案】；lx=

5642625.【详解】由可得,1Iog3bg4g5%=l log log x=3,45则log x=43=64,5所以X=

564.由嗅可得，，所以2108341851=01841851=1^log x=4,l=54=

625.5能力提升B

1.（2023・天津津南•天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知1,bl,且log2，T=lo4,则打的最小值为________【答案】216log b2【详解】因为贝」〃〉，由得;〃1,bl,I logOJog20log2=log/,4,log2皿；皿则有,当且仅当即〃=时取等号,一4=log a.log b2=ilog ab2log a=log b,b=4I2222乙于是）k g2Qb4,ab\6,所以当〃=时，仍取得最小值・b=416故答案为

162.（2023秋•上海浦东新•高二校考期末）定义因为不超过实数x的最大整数，例如[-

2.3]=-3,⑺=3,29+1已知函数/（%）=[唾耳，则»⑵-）21=/=1【答案】410729+1【详解】）（）（）八）（）—1=/1+/3+5+…+/2°+/=1根据已知可得（）/l=[logl]=0,2（）/3=[log3]=l,2⑸⑺，/=/=2（）（）（）（）共个，/9=/11=/13=/15=3,4/

（17）=/

（19）=...=/（25-1）=4,共8个（由

17、

19、…25-1之间含多少个奇数决定），/

（33）=...=/（26-1）=5,共16个，（）=/）共个，/65=…7—1=6,32/

（129）=-=/（28-1）=7,共64个，/

（257）=...=/（29-1）=8,共128个，/

（513）=...=/（210-1）=9,共256个，/（210+1）=10,29+1则之/（）21=0+1+2x2+4x3+8x4+16x5+32x6+64x7+128x8+256x9+10=4107,/=1故答案为

4107.

3.（2023・全国•高三专题练习）事函数户处当取不同的正数时，在区间1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点（）（）连接线段恰好被其中的两个事函数，的图象三等分,即有41,0,80,1,48,48y=X y=xb BM=MN=NA,刃么K ab=.【答案】1【详解】依题意，所以〃,是线段的三等分点，（BM=MN=NA,N12^21A而所以〃,7V,）37135说明同+、、等符号一样,表示一种运算，即已知一个底数和它的幕求指数的运算，这种运算叫对数运算,“log”X不过对数运算的符号写在数的前面.知识点02指数式与对数式的相互转化当＞且；0awl,a=N ox=log知识点03对数的性质

①负数利零没有对数.

②对于任意的＞且都有；0log=0,log=l,bg=_l

③对数恒等式心磋=N（＞0且W1）【即学即练2】（•高一课时练习）的值是.20232b4【答案】|【详解】由对数的概念可得幅！=,，2故答案为—知识点04对数的运算性质当＞0且QWI,Af〉0,N〉01log y—logM-2log=log log-

③〃）（）log=log neR；（）@logl=-log ymwO°m

⑤10gT=k）g＞a m【即学即练3】（2023春・湖南邵阳•高三统考学业考试）计算bg62+log63=.【答案】1【详解】根据对数的运算法则，可得））（）k g62+log63=k g62x3=log66=L故答案为

1.知识点05对数的换底公式换底公式（＞且＞＞且）log^0QW1,b0,c0,cwl log112A11A1211彳/=，仍=a=logi bg2W bgiT-!og-=l2§3§3§3y3故答案为1综合素养C

1.2023・全国•高三专题练习荀子《劝学》中说〃不积度步，无以至千里；不积小流，无以成江海.〃所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的〃进1+1%.步〃率都是一年后是产而把广看作是每天〃退步〃率都是一年后是1%,

1.05°377834;1-1%1%,

0.

993650.0255;101365这样，一年后的〃进步值〃是〃退步值〃的^倍.那么当〃进步〃的值是〃退步〃的值的倍，大约经过

148120.99365A.9B.15C.25D.35天.参考数据IglOl«

2.0043,1g99PL9956,lg2«

0.3010【答案】D【详解】设经过天〃进步〃的值是〃退步的值的倍，贝/四；x21=2,

10.99I c1g2lg2lg

20.

30100.3010«x=log2=--——=——=--------------------x--------=-----------------------x35ini二楼101101lgl01-lg

992.0043-

1.

99560.0087，lg lg

80.99g99故选D.

2.2023•广西柳州・统考三模17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍〃，现代物理学之父伽利略评价〃给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙〃.已知怆设则所在的区间为2B

0.3010,lg3Po.4771,N=45x9%NA.lO,;lO12B.10,2,10,3C.1013J014D.10,41015【答案】B【详解】计算尼=坦、吆炮・，对选项中的区间端点值同样取以为底的对数值,可4591°=102+203“12552010知正确.B故选B

3.2023・高一课时练习《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取个不重复的汉字，已知将个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为

100010004.02x12567N,则的整数部分为.IgN【答案】2567【详解】由题可知，lgN=1g

4.02x102567=2567+1g

4.

02.因为所以所以的整数部分为

14.0210,0v lg

4.021,IgN

2567.故答案为:

2567.特别的lOg^l Qlog/,log1697【即学即练4］（•全国•高一假期作业）产丁的值是（）20231%423A.1B.-C.-D.232【答案】B【详解】由题意可得:log16_log42_310§34_

2.273310g4log4log43333故选B.题型对数概念判断与求值01【典例1】（2023・全国•高一假期作业）下列函数是对数函数的是（）（）A.y=log xB.y=ln x+l c.y=log eD.y=logx2v v【答案】A【详解】解对数函数（＞且）其中为常数，为自变量.y=log“x0QW1,X对于选项符合对数函数定义；A,对于选项真数部分是不是自变量故它不是对数函数；B,x+1,X,对于选项底数是变量》,不是常数，故它不是对数函数；C,对于选项底数是变量工，不是常数，故它不是对数函数.D,故选A.【典例2】（•江苏•高一假期作业）在）（）中，实数的取值范围是2023b=k g“25-（）（）（）（）（）（）A.—8,2U5,+8B.2,5C.2,3U3,5D.3,4【答案】C＞5-0【详解】由对数的定义知〃-＞20,ci—2w1品不得2＜Q＜3或3＜＜

5.故选C.【变式1］（•全国•高一假期作业）若吗一）卜）则的值为202312-7x+13=0,x【答案】4【详解】因为唾））221-7x+13=0,2-7x+13=1x所以x-20,x—2w1x2-7x+12=0,解得E|Jx2x=

4.x w3故答案为

4.【变式2］（2023・高一课时练习）计算log❷81=；lg

0.16=.【答案】8-6【详解】、，bg581=log y/3=8,lgO.l6=lgW6=-6/故答案为8,-6题型指数式与对数式相互转换02【典例1】（•全国•高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）2023与工与，二一，A.©°=11111=0B.80=logs223岷与C.9=29L3D.log77=/T=7【答案】C【详解】根据指数式与对数式互化可知对于选项等价于故正确；A5=11111=0,A对于选项一出=，等价于-！，故正确；B8188=B223对于选项等价于故错误；01/39=232=9,C对于选项等价于故正确；D log,7=17=7,D故选C.【典例2］（2023•全国•高三专题练习）已知log〃3=加,log,4=H,计算例…二9【答案】44【详解】log3=m log4=na9a9・3=3,Q〃=4,.../f/⑷）2329••a===—=—•a a44故答案为-9【变式1]（2023・高一课时练习）已知log3=

①，则/用的值为【答案】9【详解】因为加，13=所以优〃=力削=故3,32=

9.答案为

9.【变式2】（2023・高一课时练习）已知log2a=!，则/=一）【答案】2/_）\3【详解】•・,log2a=；；，因此，/.4=2V=

2.\7故答案为

2.题型对数的运算03【典例1】（多选）（•全国•高一假期作业）下列运算正确的是（）202321ogj104-log,

0.25=2/♦A——55B log27-log8-log5=-

4259.C.lg2+lg50=2吗+⑹修）-吗⑹=[D.-e【答案】BCD【详解】对于A,2lo§110+lo§I°-25=lo81f100x0-25）=loSI25=~25555错误;A劣I97I Q1C312o L091g31g2lg5_9对于B,故正确;B举装正］式父下log,27log

8.log5=-log3•

2.5=.2592对于故正确;C,lg2+lg50=lgl00=2,C丫21/11§对于D,10%+百）（2-6）-（噫行）=IO8M7T73~uJ=-1~4=~4，故D正确・故选BCD.【典例2】（•全国•高三专题练习）化简（吗）唾、唳唾喻2023122+6263+263-62=【答案】-log26【详解】（log2）2+log2xlog3+2log3-66666=一嗨

2.故答案为-log26【典例3】（2023・全国•高三专题练习）计算

2.1|lgl6-21g54-4°.【详解】原式『+l

0.25-2+—31=lg2lg

2.21g5+lg2+21g5=lg221g5+2721g2+21g5=21g2+21g5=

2.22°叼+22+1g20-1g2-log2X log3+72-l,gl・\9J3233【答案】⑴，22【详解】

10.25-2+f—3--lgl6-21g5+f-l；1272s UJ八2173][一+-=QB-2lg2+lg5+l\52X=24+--2+1UJ=16H12_3322,Og^f l20-1g2-log2xlog3+V2-l,gl2++g329=1+1-1+1=2【变式1]2023春・天津南开•高二统考期末计算Iog,2+kga

0.5-kg225xlog34xlog59=【答案】-8【详解】因为log.2+log

0.5-log25x log4x log9=log2x

0.5-log52x log22x log32235a235ln5In2In3o=log1-8log5xlo2xlog3rt2—8xxx—In2In3ln5所以25log.2+log

0.5-log Xlog4xlog9=-

8.235故答案为-

8.【变式2]•全国•高三专题练习计算2023⑴・lg2y+lg2lg50+lg25;51Y3⑵4bg2+logi8-lg—+lg25-y-163【答12案】3原式晦一2=223bg28+lg3，Mg25—lg8—Ine1633311-x25--=6+lgl0-±=6+1-—-5=9-3+lg22228题型对数运算性质的应用04【典例1】（2023春・河北张家口•高二统考期末）已知0,b0,则〃Q=6=1〃是〃炫+炫力=0〃的（）充分不必要条件必要不充分条件A.B.充要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】A【详解】因为由（（）可得〃a0,b0,lga+lgb=lg a=0,b=l,所以，〃〃〃〃；但〃a=b=T nab=l a=b=1Wab=T.所以,已知则以=〃是〃〃的充分不必要条件,0,b06=1g+lg=09故选A.【典例2】（2023・山东济宁・嘉祥县第一中学统考三模）若乎=3〃=左且,+L=2,则心（）m nA.V5B.76C.5D.6【答案】B【详自单】因为〃〃=左且~+=所以，加工且〃所以，左且女2=32,0w0,0=1,m n且有〃=左，,所以，—=log2n=log klog,2,-=log^3,m n3A所以，—+-=则左log.2+log.3=log,6=2,2=6,m nA AA又因为攵〉且左解得人=遥.0wl,故选B.【典例3】（•全国•高三专题练习）设、求证20233=4=6z,x2y z【答案】证明见解析【详解】证明设、=平=团（加）362=0,贝|J x=log m,y=log m,z=log m.346所以，=108M3,-=log4,-=log,

6.w,;x yz所以‘+；〃〃=bg,3+log72=log,6,x2y所以卜宗n=，那么〃的值所在区间为（【变式1］（2023・高一课时练习）设logi13B.-3,-2C.1,2D.2,3【答案】D1n=【详解】由题意可得sgj=log2+log5=log1053333loglog3log3T325且〉所以〃=32=9103=2710,2,

3.log310e故选D.2,-2-7x+x-7【变式2］（2023春・广东广州•高一广东实验中学校考阶段练习）

（1）已知I~；A IA-JX4-X-14-X24-X221g52+1g2x1g5+1g20+log25xlog4xlog

9.235【答案】4,

10、」1【详解】（）由［可得〉将其平方得1x0,X2+x22=32=x+%1=7,将x+x-=7平方可得A1A-J2+-2-7X X2+X_2=47,所以7~~~X+工x+x72+X221g52+1g2X1g5+lg20+log25x log4x log9=1g51g2+1g5+1g20+log52x log22x log32235235=lg5+lg20+2x2x2log5x log2x log3=lg100+8log5x log3x log2=2+8=10235253【变式3]春•上海黄浦•高一统考期末已知若用、表示吗则吗20233=2,3=5,b15,15=【答案】丁/工14-6Z Q+1【详解】因为所以=3=2,3=5,log32,h=log5,3log5_log5Iog5333所以嘘65屋log6log2x3log2+lo g31+3333故答案为:题型换底公式的应用05【典例1】（2023•江苏•高一假期作业）已知log—j,18=5,log

45.（用表示）36【答案】【详解】所以=砥又=・・〃718^=5,65,log a.+b=log9+log5=log9x5=log45,1818181818；log36=log2xl8=l+log2=l+log—=2-log9=2-a18181818189log45_a+b18，叫451log362-a18故答案为:【典例2】（2023・江苏•高一假期作业）计算:⑵11log V

4.7log-x5【答案】14•og V2X log957⑵-1⑴由换底公式可得，.噫嘿雷=董普；W4=4【【变式详2】（2023解】春广东云浮•高一校考阶段练习）若3=6,^=log6,_log V2log9257=log,V2x log3^92原式则bg1log V7353ab【答案】加为1X*【详解】因为二所以〃=3“6,1%6【变式1］（2023・全国,高三专题练习）若142=a,1型=5,用a,1表示*28=所以1氤+最=唾63+唾62=1叫6=

1.【答案】受【详解】因为〉所以力14=5,=1845,log14281O414+log I42log23510g35log14+log5-log21+b-a814141414\+a故答案为:\+b-a。